произведение?

[rakushkin]

Возьмем пять раз по три яблока - получим 15. Возьмем три раза по 5 яблок - получим тоже 15. Как так получается? По математике число "разов" и число объектов (яблок) отождествляется, вводится операция умножения, которая коммутативна. Но как доказать, что операция умножения чисел коммутативна? В школе нам это вдалбливали без доказательств "опытным путем". Показали пару раз пример и все - дальше принимайте как должное. А если строго математически?

[Nikolai Moskvitin]

rakushkin в сообщении #644563 писал(а):

Но как доказать, что операция умножения чисел коммутативна?

Наверное, через основную теорему арифметики. Доказывается, что разложение данного числа на множители единственно, а потом, что оно не зависит от порядка сомножителей. Подождите опытных участников!

[rakushkin]

Основная теорема то тут ни при чем. Меня интересует именно то, что "взяв х раз по у получим столько же, сколько получим, взяв у раз по х".

[venco]

Доказывается по индукции используя коммутативность и ассоциативность сложения.

[rakushkin]

venco в сообщении #644592 писал(а):

Доказывается по индукции используя коммутативность и ассоциативность сложения.

Про индукцию я уже думал. Да, получается. Но индукция - это метод, изучаемый гораздо позже. Вот так забавно выходит.

[venco]

Доказательства вообще позже изучают, чем базовые математические факты. Такова жизнь - сначала дети верят взрослым, а потом некоторые начинают проверять полученные знания сами.

[Someone]

rakushkin в сообщении #644563 писал(а):

А если строго математически?

Это зависит от того, что Вы понимаете под "строго математически". Дело в том, что доказательство "из ничего" невозможно, всегда есть какие-то исходные предположения. Если речь идёт об арифметике натуральных чисел, наверное, следует взять аксиомы арифметики и посмотреть, как из них выводится коммутативность умножения. Устроит это Вас, или Вы будете выяснять, почему эти аксиомы верны?

[Munin]

Наглядное детское доказательство - расположение яблок прямоугольником $3\times 5.$

[rakushkin]

Да. Последнее самое наглядное и верное. Спасибо.

[Doil-byle]

Да, наверное, это самое наглядное, но это на самом деле не доказательство, а какой-то эксперимент. Если Вас ещё интересует этот вопрос, то можете почитать книжку "Основания арифметики" И.Т. Демидова - там все эти свойства для натуральных чисел выводятся из аксиом Пеано. (Натуральными числами там дело не ограничивается, строятся и другие числовые множества)