2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 произведение?
Сообщение14.11.2012, 17:57 
Возьмем пять раз по три яблока - получим 15. Возьмем три раза по 5 яблок - получим тоже 15. Как так получается? По математике число "разов" и число объектов (яблок) отождествляется, вводится операция умножения, которая коммутативна. Но как доказать, что операция умножения чисел коммутативна? В школе нам это вдалбливали без доказательств "опытным путем". Показали пару раз пример и все - дальше принимайте как должное. А если строго математически?

 
 
 
 Re: произведение?
Сообщение14.11.2012, 18:06 
rakushkin в сообщении #644563 писал(а):
Но как доказать, что операция умножения чисел коммутативна?

Наверное, через основную теорему арифметики. Доказывается, что разложение данного числа на множители единственно, а потом, что оно не зависит от порядка сомножителей. Подождите опытных участников!

 
 
 
 Re: произведение?
Сообщение14.11.2012, 18:29 
Основная теорема то тут ни при чем. Меня интересует именно то, что "взяв х раз по у получим столько же, сколько получим, взяв у раз по х".

 
 
 
 Re: произведение?
Сообщение14.11.2012, 18:37 
Доказывается по индукции используя коммутативность и ассоциативность сложения.

 
 
 
 Re: произведение?
Сообщение14.11.2012, 18:44 
venco в сообщении #644592 писал(а):
Доказывается по индукции используя коммутативность и ассоциативность сложения.


Про индукцию я уже думал. Да, получается. Но индукция - это метод, изучаемый гораздо позже. Вот так забавно выходит.

 
 
 
 Re: произведение?
Сообщение14.11.2012, 18:49 
Доказательства вообще позже изучают, чем базовые математические факты. Такова жизнь - сначала дети верят взрослым, а потом некоторые начинают проверять полученные знания сами.

 
 
 
 Re: произведение?
Сообщение14.11.2012, 19:15 
Аватара пользователя
rakushkin в сообщении #644563 писал(а):
А если строго математически?
Это зависит от того, что Вы понимаете под "строго математически". Дело в том, что доказательство "из ничего" невозможно, всегда есть какие-то исходные предположения. Если речь идёт об арифметике натуральных чисел, наверное, следует взять аксиомы арифметики и посмотреть, как из них выводится коммутативность умножения. Устроит это Вас, или Вы будете выяснять, почему эти аксиомы верны?

 
 
 
 Re: произведение?
Сообщение14.11.2012, 19:21 
Аватара пользователя
Наглядное детское доказательство - расположение яблок прямоугольником $3\times 5.$

 
 
 
 Re: произведение?
Сообщение14.11.2012, 20:53 
Да. Последнее самое наглядное и верное. Спасибо.

 
 
 
 Re: произведение?
Сообщение14.11.2012, 21:18 
Да, наверное, это самое наглядное, но это на самом деле не доказательство, а какой-то эксперимент. Если Вас ещё интересует этот вопрос, то можете почитать книжку "Основания арифметики" И.Т. Демидова - там все эти свойства для натуральных чисел выводятся из аксиом Пеано. (Натуральными числами там дело не ограничивается, строятся и другие числовые множества)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group