2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 15:43 
Пытаюсь привести квадратичную форму к каноническому виду.

$f(x_{1},x_{2}) = 6x_{1}^2-6x_{1}x_{2}+6x_{2}^2$

1) Метод Лагранжа:

$f(x_{1},x_{2}) = 6x_{1}^2-6x_{1}x_{2}+6x_{2}^2 = 6 \cdot (x_{1}^2-x_{1}x_{2}+x_{2}^2 ) = 6 \cdot (x_{1}^2-2x_{1} \frac{x_{2}}{2} ++ (\frac{x_{2}}{2})^2- (\frac{x_{2}}{2})^2+x_{2}^2 ) = 6 \cdot ((x_{1}-\frac{x_{2}}{2})^2+ \frac{3}{4} x_{2}^2)  = 6 \cdot (x_{1}-\frac{x_{2}}{2})^2+\frac{9}{2} \cdot x_{2}^2 $

Заменяю: $y_{1}=x_{1} - \frac{x_{2}}{2}, y_{2}=x_{2}$ .

Тогда: $6 y_{1}^2 +\frac{9}{2} \cdor y_{2}^2$

2) Методом ортогональных преобразований:

$f(x_{1},x_{2}) = 6x_{1}^2-6x_{1}x_{2}+6x_{2}^2$

Матрица квадратичной формы: $\begin{pmatrix}
6 & -3\\ 
-3 & 6 
\end{pmatrix}$

Характеристический полином матрицы квадратичной формы:

$\begin{vmatrix}
6-\lambda  & -3\\ 
-3 & 6-\lambda 
\end{vmatrix} = (6-\lambda)^2-9=36-12\lambda+\lambda^2-9 =\lambda^2-12\lambda+ 27 = (\lambda-3)(\lambda-9)$

Т.е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:

$3 z_{1}^2 + 9z_{2}^2$


В итоге получаю разные выражения для канонического вида, я что-то не так делаю? (у меня есть одна мысль, касательно того, почему получаются разные записи результатов, но...)

 
 
 
 Re: Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 15:56 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #644499 писал(а):
Т.е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:

А никто и не гарантировал, что разными преобразованиями получится один и тот же вид, вот только линейной как у Вас вдруг во вторм случае она получиться не может. Инвариантно лишь число положительных, а также отрицательных коэффициентов при квадратах - закон инерции.

 
 
 
 Re: Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 16:01 
Аватара пользователя
В методе Лагранжа ошибка. $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}$ будет $\frac{3}{4}$, а не $\frac{1}{4}$

 
 
 
 Re: Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 16:04 
bot
Ой, я там квадраты забыл. Спасибо, поправил.

Тут получается, что кол-во положительных коэффициентов равно $2$ в первом и $2$ во втором, а отрицательных $0$ в обоих, то есть закон инерции выполняется?

-- 14.11.2012, 17:10 --

cool.phenon
Спасибо, исправил.

-- 14.11.2012, 17:12 --

В задании так же написано "Сделать проверки, проверить выполнение закона инерции".

Закон инерции выполняется, так как имеем равное кол-во положительных коэффициентов в обоих случаях, и равное отрицательных. А вот что значит "Сделать проверки"?

 
 
 
 Re: Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 18:16 
Limit79 в сообщении #644499 писал(а):
В итоге получаю разные выражения для канонического вида, я что-то не так делаю?

В методе Лагранжа используются общие обратимые линейные замены координат, при этом ортогональные инварианты не сохраняются, инвариантом таких замен является только сигнатура. В случае же приведения к каноническому виду используются только ортогональные замены систем координат, поэтому это отвечает более "тонкому" отношению эквивалентности на квадратичных формах. Это как аффинная и метрическая классификации кривых второго порядка: в первой существует только один эллипс, одна парабола и одна гипербола, в то время как для второй представителями классов эквивалентности являются кривые, заданные каноническими уравнениями.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group