Вычислить вычеты (ТФКП)

[arseniy]

Всем привет!

Застрял на такой задаче:
Найти все изолированные особые точки функции $f(z)=\frac{z}{(z^2+1)^2}$, установить их тип.
Вычислить вычеты во всех особых точках.

В нуле знаменателя $(z^2+1)^2=0; z=\pm i$ - полюса второго порядка.

Подставляем значения для вычисления вычета:
$\operatorname{res} f(z)_{z=i} = \frac{1}{(2-1)!}\lim_{z \to i} \frac{d}{dz}\frac{z\cdot(z-i)^2 }{(z^2+1)^2}=$
$=\lim_{z \to i} \frac{(3z^2-4\cdot z\cdot i+i^2)\cdot(z^2+1)^2-z\cdot (z-i)^2\cdot 2(z^2+1)2z}{(z^2+1)^4}=\lim_{z \to i}\frac{-z+i}{(z+i)^3}$

Тоже самое для $z \to -i$

Подскажите, является ли верным ход решения? Ответ в обоих случаях ноль? Спасибо!

[Trius]

Ответ правильный.