замыкание множества

[Islam ///]

Доказать, что замыкание каждого множества замкнуто.

[Joker_vD]

Так это... пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто по определению замкнутого множества.

[SpBTimes]

Замыкание - добавление всех предельных точек.

[Joker_vD]

А, ну тогда рассмотреть дополнение к замыканию: оно состоит из точек, которые не принадлежат $A$ и имеют окрестность, которая с $A$ не пересекается... то есть оно открыто. Ну и все.

[Islam ///]

Пусть Е - данное множество, обозначим E' множество его предельных точек, обозначим через [E] замыкание множества Е.
Тогда $\left[ E \right] = E \cup E'$
Теперь применяем свойства замыкания:
\left( E \cup E' \right) ' = E' \cup \left( E' \right) ' = E' \cup E' = E' \subseteq \left( E \cup E' \right) =\left[ E \right]
Значит, замыкание множества Е содержит все свои предельные точки, т.е. замкнуто.

А так правильно

[Toucan]

Тема закрыта ровно по той же причине, что и «ответ правильный»