Метрическое пространство

[Islam ///]

Доказать, что всякое замкнутое пространство $E$ полного метрического пространства $X$ есть полное метрическое пространство.

[gris]

Докажите хоть от противного, пользуясь определением замкнутости. Что там за особенная предельная точка?

[Islam ///]

Если пространство $E$ полно, то в нем любая фундаментальная последовательность сходится. Возьмем замкнутое подпространство полного пространства. Замкнутость означает, что все предельные точки последовательностей с элементами из подпространства тоже принадлежат подпространству. Теперь берем любую фундаментальную последовательность подпространства. Она сходится к некоей точке $E$ (т.к. $E$ - полно). Но эта точка в силу замкнутости подпространства принадлежит подпространству. т.е. любая фундаментальная последовательность в подпространстве сходится к точке подпространства -> подпространство полно.

[gris]

Замечательно. Кстати, это верно и в другую сторону: полное подпространство обязательно замкнуто.

[Islam ///]

ееесть,

Спасибо !!!