2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Метрическое пространство
Сообщение12.11.2012, 11:54 
Доказать, что всякое замкнутое пространство $E$ полного метрического пространства $X$ есть полное метрическое пространство.

 
 
 
 Re: Метрическое пространство
Сообщение12.11.2012, 12:56 
Аватара пользователя
Докажите хоть от противного, пользуясь определением замкнутости. Что там за особенная предельная точка?

 
 
 
 Re: Метрическое пространство
Сообщение12.11.2012, 17:32 
Если пространство $E$ полно, то в нем любая фундаментальная последовательность сходится. Возьмем замкнутое подпространство полного пространства. Замкнутость означает, что все предельные точки последовательностей с элементами из подпространства тоже принадлежат подпространству. Теперь берем любую фундаментальную последовательность подпространства. Она сходится к некоей точке $E$ (т.к. $E$ - полно). Но эта точка в силу замкнутости подпространства принадлежит подпространству. т.е. любая фундаментальная последовательность в подпространстве сходится к точке подпространства -> подпространство полно.

 
 
 
 Re: Метрическое пространство
Сообщение12.11.2012, 18:04 
Аватара пользователя
Замечательно. Кстати, это верно и в другую сторону: полное подпространство обязательно замкнуто.

 
 
 
 Re: Метрическое пространство
Сообщение12.11.2012, 18:07 
ееесть,

Спасибо !!!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group