Пространство ограниченных функций.

[elizabet]

Правда ли, что в пространстве существенно ограниченных функций (это пространство, если не ошибаюсь, обозначают обычно М или L бесконечность) с нормой существенная верхняя грань разности нет счетных замкнутых систем? (замкнутость здесь это - возможность аппроксимировать элементы пространства).

[ewert]

elizabet в сообщении #642956 писал(а):

Правда ли, что в пространстве существенно ограниченных функций (это пространство, если не ошибаюсь, обозначают обычно М или L бесконечность) с нормой существенная верхняя грань разности нет счетных замкнутых систем?

Да, правда (это называется несепарабельность). Для доказательства достаточно рассмотреть множество единичных ступенек, начинающихся во всех возможных точках. Это множество несчётно, и при этом расстояние между любыми двумя его элементами равно единице.