О последовательностях аналитических функций

[Evgenii2012]

Давно мучаюсь над следующим вопросом. Предположим, что $f_n:D\rightarrow {\Bbb C},$ является семейством аналитических функций, локально равномерно сходящихся к функции $f:D\rightarrow \overline{{\Bbb C}}$ относительно хордальной метрики в $\overline{{\Bbb C}}={\Bbb C}\cup\{\infty\},$ которая (напомню) определяется следующим образом:

$$h(x,y)=\frac{|x-y|}{\sqrt{1+{|x|}^2} \sqrt{1+{|y|}^2}},\qquad x\ne \infty\ne y,\qquad h(x,\infty)=\frac{1}{\sqrt{1+{|x|}^2}}\ .$$

Вопрос: можно ли утверждать, что в этом случае функция $f$ будет либо аналитической функцией $f:D\rightarrow {\Bbb C}$, либо тождественно равна $\infty$ ?

Для конформных отображений это так, но тут -- отображения, допускающие точки ветвления. Если кого-либо есть на этот счёт какие-либо соображения, давайте обсудим.

[Padawan]

Да, утверждение верно.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за сообщение. Теперь хотелось бы понять, почему это так.

[Padawan]

Функция $f$ непрерывна в $D$ в хордальной метрике. Поэтому множество $E$ тех точек $z\in D$, в которых $f(z)=\infty$ замкнуто в $D$. Покажем, что оно также открыто.
Заметим, что внутри $D\setminus E$ последовательность $f_n$ сходится к $f$ равномерно в обычном смысле. Пусть $z\in E$. По принципу максимума $z$ не может быть изолированной точкой множества $E$, т.к. в противном случае мы взяли бы маленькую окружость в центром в этой точке и получили бы, что в центре окружности $f_n$ стремится к бесконечности, а на самой окружности равномерно сходится к ограниченной функции, т.е. принцип максимума нарушается. Следовательно точка $z$ является предельной точкой множества $E$. Так как $f$ непрерывна в хордальной метрике, то найдется такая окестность $U\subset D$ точки $z$, в которой $|f|>2$, например. Так как $f_n$ сходится к $f$ локально равномерно, то найдется окрестность $V\subset U$ точки $z$ в которой $|f_n|>1$ начиная с некоторого номера $n_0$. Следовательно, $f_n$ не обращаются в нуль в области $V$. Так как отображение $\varphi(z)=\frac{1}{z}$ непрерывно в $\overline{\mathbb C}$ в хордальной метрике, то $1/f_n$ сходится локально равномерно к $1/f$ в области $V$. Так как $1/f_n$ аналитичны в $V$, то и $1/f$ аналитична в $V$. Так как $1/f$ обращается в нуль на множестве $E$, имеющем предельную точку $z$ в $V$, то по принципу единственности $1/f\equiv 0$ в области $V$. Таким образом, нашлась окрестность $V$ точки $z$ такая, что $V\subset E$. Следовательно, множество $E$ открыто в $D$.

Так как множество $E$ одновременно и замкнуто и открыто в области $D$, то либо $E=D$, либо $E=\varnothing$.

[Evgenii2012]

Спасибо за доказательство. Мне непонятно, как Вы применяете принцип максимума: "По принципу максимума не может быть изолированной точкой множества , т.к. в противном случае мы взяли бы маленькую окружность в центром в этой точке и получили бы, что в центре окружности стремится к бесконечности, а на самой окружности равномерно сходится к ограниченной функции, т.е. принцип максимума нарушается." К какой функции применяется этот принцип ? Ведь функция $f$ аналитической не является.

С другой стороны, это утверждение, в частности, означает, что отображение $f$ не является дискретным. То есть, все прообразы $f^{-1}(\infty)$ не изолированы. Но функция $f$ мероморфная, как локально равномерный передел мероморфных функций и, значит, изолированное отображение. То есть, прообраз каждой точки $f^{-1}(a)$ состоит только из изолированных точек. Нет ли тут противоречия ?

[Padawan]

Evgenii2012 в сообщении #643225 писал(а):

К какой функции применяется этот принцип ? Ведь функция $f$ аналитической не является.

К функции $f_n$ с достаточно большим номером $n$ -- в центре окружности $|f_n|$ будет большим, а на самой окружности -- ограниченным.

[Evgenii2012]

Большое спасибо, ещё раз, за приведённое доказательство. Да, всё вроде бы чётко и правильно, но для полного осмысления надо будет обсудить ход рассуждений с шефом и с коллегами. У меня такое впечатление, что доказательство после установления неизолированности $E$ можно считать законченным -- см. моё замечание выше по поводу дискретности мероморфных отображений. (Дискретность -- это общее свойство всех отображений с ограниченным искажением, отображений квазиконформных в среднем при минимальных дополнительных условиях на дилатацию, отображений с конечным искажением и т.п.).

В связи с этим, у меня возникает такой вопрос относительно топологических предположений на последовательность отображений: верно ли утверждение о конечности всюду (бесконечности всюду) предельной функции для последовательности произвольных изолированных открытых отображений, когда предельное отображение также предполагается изолированным и открытым ? Буду рад услышать Ваше мнение.

[Evgenii2012]

Интересно также получить ответ на этот же вопрос, когда последовательность $f_n$ -- просто произвольная последовательность непрерывных функций

[Padawan]

Evgenii2012 в сообщении #643225 писал(а):

Но функция $f$ мероморфная, как локально равномерный передел мероморфных функций и, значит, изолированное отображение. То есть, прообраз каждой точки $f^{-1}(a)$ состоит только из изолированных точек.

Да, действительно, так проще. Раз $f^{-1}(\infty)$ должно быть либо дискретно, либо $f\equiv\infty$, а изолированных точек быть не может, то либо $f^{-1}(\infty)=\varnothing$, либо $f\equiv\infty$.

Evgenii2012 в сообщении #643273 писал(а):

У меня такое впечатление, что доказательство после установления неизолированности $E$ можно считать законченным -- см. моё замечание выше по поводу дискретности мероморфных отображений.

Да, Вы правы.

В моем доказательстве был зашит фрагмент из доказательства того факта, что локально равномерный предел мероморфных -- мероморфная. Если смотреть на мероморфную функцию как на аналитическое отображение в сферу Римана, то это по-моему несложно доказывается. Вообще, локально равномерный предел аналитических отображений римановой поверхности в компактную риманову поверхность тоже будет аналитическим. Требую, чтобы поверхность-образ была компактной, потому как только для этого случая вижу, как определить эту самую локально-равномерную сходимость (на компактном метрическом пространстве есть естественная равномерность).

[Evgenii2012]

Большое спасибо за сообщение и интересный комментарий. К сожалению, я никогда не занимался отображениями на многообразиях, а только из ${\Bbb R}^n$ в ${\Bbb R}^n,$ $n\ge 2.$ В связи с этим, хотел Вас попросить уточнить по поводу естественной равномерной сходимости в компактном м.п., что имеется в виду ? (Понятно, что это условие необходимым не является, поскольку обычное пространство ${\Bbb C},$ в котором верна теорема о локально равномерном пределе аналитических функций, не является компактным).

Хотел бы также выяснить, верно ли следующее утверждение. Предположим, что $f_m:D\rightarrow {\Bbb R}^n,$ $D\subset {\Bbb R}^n,$ $n\ge 2,$ является семейством непрерывных отображений, локально равномерно сходящихся к отображению $f:D\rightarrow \overline{{\Bbb R}^n}$ относительно хордальной метрики. Верно ли, что либо $f(x)<\infty\quad\forall\,x\in D,$ либо $f(x)\equiv \infty$ ?

Когда каждое отображение $f_m$ открытое, а $f$ -- изолированное, у меня имеется набросок доказательства. Интересно, что будет, если последовательность и предельное отображение просто непрерывны ?

P.S. Очень любопытно было бы узнать, с кем я общаюсь. Я Евгений Севостьянов, ученик профессора Рязанова, Донецк.