Сходимость ряда

[Limit79]

Есть ряд: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3x}{5} \left( - \frac{x}{5}\right )^n$. Он сходится при $|x|<5$.

При $x=-5$, получается: $\sum_{n=0}^{\infty} -3 $.

Может вопрос тупой, но сходится ли он?

-- 10.11.2012, 21:35 --

По идее он расходится, по необходимому признаку сходимости, так как предел общего члена будет равен $-3$.

[Dan B-Yallay]

Общий член к нулю стремится? Нет?

[bot]

Ответ ещё тупее - там, где таким рядам положено сходиться абсолютно, он и сходится, а вот где некоторые хоть как-то, бывает, сходятся, этому обломилось.

[Limit79]

Dan B-Yallay
Нет.

bot
Не очень понял Вас.

Я думаю вот так:
При $x=-5$, ряд будет $\sum_{n=0}^{\infty} -3$, он расходится, так как предел общего члена ряда равен $-3$.

При $x=5$, ряд будет $\sum_{n=0}^{\infty} -3(-1)^n$, он так же расходится, по признаку Лейбница, так как предел модуля общего члена ряда равен $-3$.

[cool.phenon]

Последние размышления не совсем корректны. Признак Лейбница работает только в том случае, чтобы доказать сходимость знакочередующегося ряда.
А вот предел общего члена - это оно.

[bot]

cool.phenon в сообщении #642763 писал(а):

Не очень понял Вас.

1) Какова область сходимости степенного ряда и какая сходимость будет во внутренних точках этой области?
Ответ Вы должны знать - это промежуток и внутри его сходимость абсолютная.
2) Что бывает на концах промежутка, если они есть? Если решали достаточно, то тоже должны знать: бывает всё, что угодно - от полного облома (расходимости) до абсолютной сходимости.
Вот ровно это я и писал - только короче, чем здесь.