Ограниченность функции

[Alexander_1]

Пусть $f(k)$ аналитична в полуполосе $k\in\Pi\equiv[0,+\infty]\times[0,l],$ где $l>0$, и непрерывна вплоть до границы.
На бесконечности выполняется условие
$\forall\delta>0$ $f(k)\mathrm{e}^{-\delta\operatorname{Im}k (\operatorname{Re}k)^2}=\mathrm{O}\left(\frac{1}{k}}\right).$
Доказать, что $f(k)$ ограничена в $\Pi$

[Alexander_1]

Условие задачи неверно. вот контрпример:

$f(z)=\cos(z^2) \left(\frac{i}{z-iL}+\frac{i}{z+iL}\right), \quad L>l$


Дополнительно эта функция обладает симметрией $f(z)=\overline{f(-\overline{z})}.$

[dgrozev]

Why? This function is not $O(\frac{1}{x})$ along $\Im z =0$.