Комплексное сопряжение

[VasRoG]

Друзья, не могу разобраться вот с чем: (цитата из книги)

Lemma: A scalar product for vectors $u, v \in C_N$, i.e., vectors with complex elements having the same finite dimension, yields
<u,v> = \sum\limits_{i}u(i)*v(i)
where * is complex conjugate and u(i), v(i) are the elements of u,v.

Так вопрос в том, что разве комплексное сопряжение - это не смена знака перед мнимой частью? Т.е. если было 1+j станет 1-j? Если да, то какой смысл в вышеприведенной лемме?

[Андрей123]

Смысл в том, что скалярное произведение n-мерных комплексных векторов, в отличие от действительных, будет даваться формулой
$<u,v>=u_i$\overline{v_i}$, где $u_i,v_i$ -координаты векторов в ортонормированном базисе. сопряжённость второго слагаемого возникает из-за аксиомы
$<u,v>=$\overline{<v,u>}$

[VasRoG]

Спасибо за ответ, Андрей. Но я не совсем правильно выразился. Мне не ясно зачем берется комплексное сопряжение второго из векторов. Ведь от комплексности мы не избавимся. А разве может быть скалярное произведение комплексным?

[Руст]

Только в этом случае скалярное произведение вектора с самим собой действительное, т.е. определена норма вектора через скалярное произведение.

[VasRoG]

О чем я только думал.
Спасибо.