2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача про движение по окружности
Сообщение21.02.2007, 08:40 
Иродов 1.40
Частица движется по окружности радиуса R. В момент t=0 она находилась в точке O, и далее ее скорость меняется со временем как Ut=a*t-b*t^2, где a и b - положительные постоянные. Найти модуль полного ускорения частицы, когда она снова окажется в точке О.

Эта задача немного хитрее чем кажется на первый взгляд. :-)
Какие будут Ваши решения?

 
 
 
 
Сообщение21.02.2007, 12:50 
Аватара пользователя
Я так понимаю что: $U(t)=at-bt^2$. Также про $a,b$ - ничего не известно? И тогда вообще говоря вылазиют два случая:
1 -ый: это когда частица доедет до точки O, вращаясь по окружности,
2 -ой: она остановится и поедет назад и также доедет до точки O.
1-ый случай немного сложноват. Может конечно там можно как -то исхитрится и не решать кубическое уравнение. Но я пока над этим не думал.
2- ой случай легче. Решаем ур-е: $\frac{at^2}{2}-\frac{bt^3}{3}=0$.
Получим: $t_{0}=\frac{3a}{b}$, тогда $U_{0}=-\frac{6a^2}{b}$. Тогда:
$a_{\tau}=U^{'}=-5a$, и $a_{n}=\frac{U_{0}^2}{R}=\frac{36a^4}{Rb^2}$.В итоге получим
что $a^2=a_{\tau}^2+a_{n}^2$. Следовательно: $a=\sqrt{(\frac{36a^2}{Rb^2})^2+25a^2}$.
Ищите ошибки :wink:

 
 
 
 
Сообщение21.02.2007, 13:01 
Правильно.:) если учесть, что $t_{0}=\frac{3a}{2b}
Со первым случаем сложнее тк решение того кубического уравнения получается громоздким.

 
 
 
 
Сообщение21.02.2007, 17:26 
Аватара пользователя
Nikita
Я бы сказал оно становится весьма громоздким :wink:

 
 
 
 
Сообщение22.02.2007, 00:24 
Но наличие даже медленного компа и подходящего софта может сделать решение этой задачи быстрым.
С помощью мапла получилось что-то вроде:
1/16\,\sqrt {{\frac { \left( -3\,a\sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}
+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}
 \right) }b}+ \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {
\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2
/3}+{a}^{2} \right) ^{2} \left( -552960\, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a
}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{
3} \right) }b \right) ^{2/3}a{\pi }^{3}{R}^{3}{b}^{6}+51240\,\sqrt [3]
{24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12
\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}{a}^{8}\pi \,R{b}^{2}+2488320\,
\sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R
 \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}{a}^{2}{\pi }^{3}{R}^{3}
{b}^{6}-5400\,{a}^{9}\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{
b}^{2}-{a}^{3} \right) }b+64\,{b}^{4}{R}^{2}{a}^{6}+2654208\,{\pi }^{4
}{R}^{4}{b}^{8}+73728\,{b}^{8}{R}^{4}{\pi }^{2}+442368\,{\pi }^{7/2}{R
}^{3}{b}^{7}\sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}
 \right) }-1216512\,{\pi }^{5/2}{R}^{2}{b}^{5}{a}^{3}\sqrt {3}\sqrt {R
 \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }+12288\,{b}^{7}{R}^{3}{
\pi }^{3/2}\sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}
 \right) }-512\,{b}^{5}{R}^{2}{a}^{3}\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R
 \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }+179520\,{\pi }^{3/2}R{b}^
{3}{a}^{6}\sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) 
}+357120\, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }
\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}{a
}^{4}{\pi }^{2}{R}^{2}{b}^{4}-105600\,\sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}
^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3
} \right) }b}{a}^{5}\sqrt {3}{\pi }^{3/2}R\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{
b}^{2}-{a}^{3} \right) }{b}^{3}+414720\,\sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{
a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^
{3} \right) }b}{a}^{2}{\pi }^{5/2}{R}^{2}{b}^{5}\sqrt {3}\sqrt {R
 \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }-92160\, \left( 24\,\pi \,
R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b
}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}a{\pi }^{5/2}{R}^{2}{b}^{5}
\sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }+675\,{a}
^{12}-675\,{a}^{11}\sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}
\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}-
7409664\,{\pi }^{3}{R}^{3}{b}^{6}{a}^{3}+1378944\,{\pi }^{2}{R}^{2}{b}
^{4}{a}^{6}-71040\,\pi \,R{b}^{2}{a}^{9}+55680\, \left( 24\,\pi \,R{b}
^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2
}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}{a}^{4}\sqrt {3}{\pi }^{3/2}R\sqrt 
{R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }{b}^{3}-6144\,{b}^{6}{R}
^{3}\pi \,{a}^{3}-3600\, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3
}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b
 \right) ^{2/3}{a}^{7}\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R
{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b-35040\, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4
\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}
 \right) }b \right) ^{2/3}{a}^{7}\pi \,R{b}^{2}+4500\,\sqrt [3]{24\,
\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,
\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}{a}^{8}\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R
 \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b-737280\,\sqrt [3]{24\,
\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,
\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}{a}^{5}{\pi }^{2}{R}^{2}{b}^{4}+675
\, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R
 \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}{a}^{10}
 \right) }{{b}^{4} \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}
\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b
 \right) ^{8/3}{R}^{2}}}}
для искомого ускорения.

Полезная вещь символьная математика. :roll:

 
 
 
 
Сообщение22.02.2007, 00:51 
Аватара пользователя
Nikita
Также можно еще Mathematikа -ой. :D

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group