Модули

[Admiral]

Добрый вечер!
Нужна ваша помощь в доказательстве следующего утверждения:

Пусть $B'=A[b_{0}, \ldots ,b_{n}]$, где $A$ - кольцо.
Тогда если $B'[x]$ - конечный $B'$-модуль, то $B'[x]$ - конечный $A$-модуль.

Спасибо.

[AV_77]

А в чем тут проблема? Пусть $C$ конечно порожден над $B$ и $c_0, \ldots, c_n$ - его система порождающих. Любой элемент $C$ записывается в виде $\beta_0 c_0 + \ldots + \beta_n c_n$, где $\beta_i \in B$. Любой же элемент из $B$ записывается в виде $\alpha_0 b_0 + \ldots + \alpha_n b_n$, где $\alpha_i \in A$. Осталось это объединить и найти конечную систему порождающих $C$ над $A$.

[Admiral]

А верно ли (в тех же терминах), что если $B'[x]$ - конечный $A$-модуль, то и $A[x]$ - конечный $A$-модуль?