Стороны и диагонали четырёхугольника

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Кому-нибудь известна формула, связывающая стороны и диагонали четырёхугольника? Конечно, можно её вывести, применив дважды теорему косинусов и используя косинус суммы или разности (воспользоваться тригонометрией). Но это очень громоздко, и если формула уже есть, её можно использовать.
Кстати, ещё один вопрос: в случае многоугольника с числом сторон $n$ сколько отрезков, соединяющих его вершины, независимы друг от друга?

-- 07.11.2012, 22:41 --

Сам вывел формулу, занимает всего строчку-полторы. Но вопрос о многоугольниках остаётся интересен.

[VAL]

Nikolai Moskvitin в сообщении #641332 писал(а):

Кстати, ещё один вопрос: в случае многоугольника с числом сторон $n$ сколько отрезков, соединяющих его вершины, независимы друг от друга?

$2n-3$

[Алексей К.]

Nikolai Moskvitin в сообщении #641332 писал(а):

Кому-нибудь известна формула, связывающая стороны и диагонали четырёхугольника?

Nikolai Moskvitin в сообщении #641332 писал(а):

Сам вывел формулу, занимает всего строчку-полторы

Ну так познакомьте нас. А то пока пытался вывести, у меня прямоугольник спараллелограммился, и диагонали изменились. А стороны вроде остались как были.

[Nikolai Moskvitin]

Пусть данный четырёхугольник- $ABCD, AB=a, BC=b, CD=с, AD=d, AC=e, BD=f$.



Тогда $\cos{\angle{ABC}}=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}$ (1)
по теореме косинусов. Аналогично $\cos{\angle{DBC}}=\frac{b^2+f^2-c^2}{2bf}$ (2)
По тригонометрической формуле воспользовавшись формулой (1) находим: $\sin{\angle{ABC}}=\frac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-e^2)^2}}{2ab} $ (3); $\sin{\angle{DBC}}=\frac{\sqrt{4b^2f^2-(b^2+f^2-c^2)^2}}{2bf}$(4)
$\cos{\angle{ABD}}=\cos{\angle{ABC}}\cos{\angle{DBC}}+\sin{\angle{ABC}}\sin{\angle{DBC}}$ (5)
$\cos{\angle{ABD}}=\frac{(a^2+b^2-e^2)(b^2+f^2-c^2)+\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-e^2)^2}\sqrt{4b^2f^2-(b^2+f^2-c^2)^2}}{2ab^2f}$ (6)
$d=\sqrt{a^2+f^2-2af\cos{\angle{ABD}}}$ (7)

Ввиду громоздкости в явном виде записывать не буду. Замечу только, что сократится $2af$.

[gris]

Вы на правильном пути. Найденное Вами соотношение можнл записать в виде детерминанта.

$$ \det \begin{bmatrix} 0 & a^2 & e^2 & d^2 & 1 \\ a^2 & 0 & b^2 & f^2 & 1 \\ e^2 & b^2 & 0 & c^2 & 1 \\ d^2 & f^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0.$$

Это Cayley–Menger соотношение верно для любых 4угольников. Это из дистанционной геометрии. Там по попарным расстояниям между точками устанавливают их конфигурацию. Имеется софт.

[venco]

Получается:

$$f^2(a^2-b^2)(c^2-d^2)+e^2(c^2-b^2)(a^2-d^2)+e^2f^2(a^2+b^2+c^2+d^2-e^2-f^2)=(a^2-b^2+c^2-d^2)(a^2c^2-b^2d^2)$$

или

$2e^2f^2=(a^2-b^2)(c^2-d^2)+e^2(a^2+b^2+c^2+d^2-e^2)+$
$+\sqrt{(e^2-(a+b)^2)(e^2-(a-b)^2)(e^2-(c+d)^2)(e^2-(c-d)^2)}$

(Оффтоп)

\begin{multline*} почему-то не работает

[Алексей К.]

Я воспринял первоначальное сообщение как $f(a,b,c,d)$ и $e(a,b,c,d)$, а речь шла об $F(a,b,c,d,e,f)=0$.

venco:
multline* как-то работает (а я забыл даже о существовании оной). Просто её, по синтаксису Латеха, не надо долларами окружать:
\begin{multline*}2e^2f^2=(a^2-b^2)(c^2-d^2)+e^2(a^2+b^2+c^2+d^2-e^2)+\\ +\sqrt{(e^2-(a+b)^2)(e^2-(a-b)^2)(e^2-(c+d)^2)(e^2-(c-d)^2)}\end{multline*}
На форуме надо самому ставить тэги math, и удалять доллары, к эти тэгам присовокупляемыеся.