Множество точек разрыва

[xmaister]

Как доказать, что $A\subset\mathbb{R}$ является множеством точек разрыва некоторой функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, Тогда и только тогда, когда $A$- мноежство типа $F_\sigma$?

[Someone]

А в какую сторону у Вас доказательство вызывает затруднения?

[xmaister]

Пусть $f$- разрывна и $A$- множество её точек разрыва. У меня какая-то фигня получается. Из теоремы Кантора-Бендиксона следует, что $A$ представимо в виде объединения своих точек конденсации и счетного множества. А множество точек конденсации- совершенно, значит всякое множество вещественных чисел типа $F_\sigma$

-- 06.11.2012, 15:33 --

В случае, когда $A$- мноежство точек разрыва, его множество точек конденсации замкнуто, значит $A$- множество типа $F_\sigma$, так?

[Padawan]

xmaister
Докажите, что множество точек непрерывности -- $G_\delta$. $x$ -- точка непрерывности, если для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что ...

А для заданного множества $F_\sigma$ построить функцию с разрывом именно на этом множестве, наверное, в виде ряда какого-нибудь можно. Сначала построить функцию, разрывную на данном замкнутом множестве попробуйте.

[xmaister]

Задача свелась к доказательству того, что если в каждой окрестности некоторой точки $x\in\mathbb{R}$ несчетное множество точек разрыва, то функция разрывна в этой точке $x$. Я не понимаю, как это доказывать.

[ИСН]

Возьмём дико лохматую функцию (в рац. 0, в прочих 1, например) и умножим её на $x^2$. Где она разрывна? Какие уж тут окрестности: тупо везде. Кроме нуля. А в нуле - - -

[xmaister]

ИСН
Понял, спасибо. Тогда я вообще не понимаю, как доказывать, что множество точек непрерывности- $G_\delta$. Я хотел сослаться на замкнутость множества точек конденсации точек разрыва, но это, оказывается, не всегда верно.

[Someone]

Ну давайте определим функцию

$$\omega_f(x)=\inf\{\sup\{\lvert f(x_1)-f(x_2)\rvert:x_1,x_2\in Ux\}:Ux\subseteq\mathbb R\text{ -- окрестность точки }x\}.$$

[xmaister]

Я так и не понял, какие свойства этой функции следует использовать. Пусть $A\subset\mathbb{R}$- множество точек непрерывности. Для каждой $x\in A$ рассмотрим счетную базу $\mathscr{B}(x)=\{U_{nx}|n\in\mathbb{N}\}$, такую что для всякого $n<m$ $U_{mx}\subset U_{nx}$. Пусть для каждого $x\in A$ существует $U_{n(x)x}\in\mathscr{B}(x)$, такая что $y\not\in U_{n(x)x}$, тогда $y\not \in\bigcup\limits_{x\in A}U_{n(x)x}$, откуда $y\not\in\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{x\in A}U_{nx}$, далее в силу того, что $\mathbb{R}$-$T_1$ получаем, что существует $x\in A$, для которого $y=x$, значит $A-G_\delta$.