что я упускаю? (вопрос по мат. статистике)

[Caran-d'Ache]

Где-то что-то упускаю, но не пойму что.
Пусть есть вектор случайных комплексных величин $\overset{\rightharpoonup }{z}$ (с многомерным нормальным совместным распределением вещественной и мнимой частей). С нулевыми матожиданиями $\overset{\rightharpoonup }{\mu} $ и ковариационной матрицей $\mathbb{C}_z$ (в общем случае блочно диагональной, т.к. вещественные и мнимые части считаются некоррелированными).
Меня интересует распределение результат скалярного произведения $y=\left(\left(\overset{\rightharpoonup }{z}-\overset{\rightharpoonup }{\alpha }\right).\overset{\rightharpoonup }{c}\right)$: результата разности вектора $\overset{\rightharpoonup }{z}$ и детерминированного комплексного ветора $\overset{\rightharpoonup }{\alpha}$ с детерминированным вектором $\overset{\rightharpoonup }{c}$.
Я рассуждаю так. Разность $\overset{\rightharpoonup }{z}$ и $\overset{\rightharpoonup }{\alpha}$ распределена так же как и $\overset{\rightharpoonup }{z}$, но с матожиданием равным $\overset{\rightharpoonup }{\alpha}$. А для нахождения скалярного произведения я дополнительно рассмотрю распределение вектора $\overset{\rightharpoonup }{z}$, у которого каждый элемент "взвешен" с весом равным соответствующему элементу $\overset{\rightharpoonup }{c}$. Эту операцию можно представить, как произведение $A \left(\overset{\rightharpoonup }{z}-\overset{\rightharpoonup }{\alpha }\right)$, где $\overset{\rightharpoonup }{A}$ - суть диагональная матрица с элементами вектора $\overset{\rightharpoonup }{c}$ на главной диагонали. Тогда распределение вектора $A \left(\overset{\rightharpoonup }{z}-\overset{\rightharpoonup }{\alpha }\right)$ будет тоже нормальным, но с обратной ковариационной матрицей $A^H\mathbb{C}_z^{-1}A$. Но тогда получается, то компоненты этого вектора будет некоррелированы??? Т.к. $A$ - диагональная. А т.к. они совместно гауссовы, то они будут и не зависимы??? Что-то тут не так.
Дальше уже можно будет найти распределение суммы гауссовых величин (тоже гауссова), ну и так далее. Но вот предыдущий результат меня очень смущает.

[--mS--]

Чтобы матожидание стало равным $\vec\alpha$, его надо добавлять, а не вычитать.

Не очень понятно, что Вы называете матрицей ковариаций вектора $\vec z$ - что там блочно-диагонально. По определению, ковариация двух комплекснозначных с.в. есть $K_{X,Y}=\mathsf E(X-\mathsf EX)\cdot (\bar Y-\mathsf E\bar Y)$, и если $X=X_1+iX_2$, $Y=Y_1+iY_2$, то $K_{X,Y}=\mathop{\textrm{cov}}(X_1,Y_1)+\mathop{\textrm{cov}}(X_2,Y_2)+i(\mathop{\textrm{cov}}(X_2,Y_1)-\mathop{\textrm{cov}}(X_1,Y_2))$. При умножении вектора на $A$ ковариационная матрица никак не заменится на обратную. И произведение этих трёх матриц не даст диагональную матрицу, так что независимости и взяться неоткуда.

[Caran-d'Ache]

С матожиданием, моя оплошность, ступил, там конечно будет минус. Хотя не суть, это не столь важно.
По поводу ковариации. Говоря о распределении комплексного вектора, я имел в виду, что его можно записать непосредственно в терминах комплексных чисел, так и и в виде векора вещественных и мнимых частей (что эквивалентно). И если, использовать вторую форму записи, то ковариационная матрица $E\left[\overset{\rightharpoonup }{z^H}.\overset{\rightharpoonup }{z}\right]$, ну или $E\left[\left(\overset{\rightharpoonup }{z}+\overset{\rightharpoonup }{\alpha }\right)^H.\left(\overset{\rightharpoonup }{z}+\overset{\rightharpoonup }{\alpha }\right)\right]$ (если считать что вещественные и мнимые части не коррелированы между собой) распадается на блоки.
По поводу "обратной" матрицы. Видимо я мутно выразился, извиняюсь. Я имел в виду, что в нормальном распределениеи $\frac{1}{\pi ^N\det \left(\mathbb{C}_z\right)}e^{-\overset{\rightharpoonup }{z}^H\mathbb{C}_z^{-1}\overset{\rightharpoonup }{z}}$ в показателе экспоненты стоит не сама ковариационная матрица $\mathbb{C}_z$, а обратная к ней матрица $\mathbb{C}_z^{-1}$.

[--mS--]

Не, не понимаю. Что такое "вектор вещественных и мнимых частей"? Это вектор удвоенной длины? Или это матрица $(n\times 2)$? Если это матрица, то ковариационная матрица ни на какие блоки не распадается. Даже если вектора вещественных и мнимых частей независимы. Пусть

$$\vec z = \left(\begin{array}{cc}X_1 & Y_1 \cr X_2 & Y_2 \cr \vdots & \vdots \cr X_n & Y_n \end{array}\right)$$

(мне привычнее вектор считать столбцом, а у Вас - не пойму, что: в определении матрицы ковариаций это строка, а в формуле плотности - столбец). Тогда

$$\mathsf E \vec z\, \vec z^T=\left(\begin{array}{cccc} \mathsf EX_1^2+\mathsf EY_1^2 & \textrm{cov}(X_1, X_2)+\textrm{cov}(Y_1, Y_2) & \cdots & \textrm{cov}(X_1, X_n)+\textrm{cov}(Y_1, Y_n) \cr \textrm{cov}(X_2, X_1)+\textrm{cov}(Y_2, Y_1) & \mathsf EX_2^2+\mathsf EY_2^2 & \cdots & \textrm{cov}(X_2, X_n)+\textrm{cov}(Y_2, Y_n) \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr \textrm{cov}(X_n, X_1)+\textrm{cov}(Y_n, Y_1) & \textrm{cov}(X_n, X_2)+\textrm{cov}(Y_n, Y_2) & \cdots & \mathsf EX_n^2+\mathsf EY_n^2 \end{array}\right) = $$ $$=\left(\begin{array}{cccc}\mathsf Dz_1 & K_{z_1,z_2} & \cdots & K_{z_1,z_n} \cr K_{z_2,z_1} & \mathsf Dz_2 & \cdots & K_{z_2,z_n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr K_{z_n,z_1} & K_{z_n, z_2} & \cdots & \mathsf Dz_n \end{array}\right) = \mathsf E\vec X\, \vec X^T + \mathsf E\vec Y\, \vec Y^T.$$

Никаких блоков. Может, имелось в виду, что на сумму двух матриц ковариаций распадается - отдельно вектора вещественных, отдельно мнимых частей? Это да.