Два трехчлена

[DjD USB]

Целые числа $a,b,c$ таковы, что значения квадратных трехчленов $bx^2+cx+a$ и $cx^2+ax+b$ при $x=1234$ совпадают. Может ли первый трехчлен при $x=1$ принимать значение 2009?

[Руст]

Нет значение $f(1)$ должно делиться на 3, а 2009 не делится.

[DjD USB]

Вообще, да. Но хотелось бы решение увидеть.

[Shadow]

Функции совпадают при $x=1,x=1234$, т.е уравнение $(b-c)x^2+(c-a)x+a-b=0$ имеет 2 корня 1 и 1234. Причем $a+b+c=2009$ По Виету
$\\ \dfrac{a-b}{b-c}=1234\\ \\ a-1235b+1234c=0\\ a+b+c=2009\\ 1236b-1233c=2009$
Как было сказано, 2009 не делится на 3.
Отдельно нужно рассмотреть случай $a=b=c$, но там тоже...

[DjD USB]

Можно так: $b(x^2-1)-cx(x-1)-a(x-1)=0$ при х=1234(Подставим его и вынесем , сами корни нас не волнуют)
Тогда решам 3 и 4 строчку Shadow как систему. И тут вопрос зачем нужно отдельно рассматривать случай a=b=c?

[DjD USB]

..Вынесем $x-1$ ...

-- Пн ноя 05, 2012 19:11:41 --

..Вынесем $x-1$ ...

[Руст]

Поставим $x=1234$ и сокращаем на $x-1$, получим $a=b(x+1)-cx=1235b-1234c$.
$f(1)=a+b+c=1236b-1233c=3(409b-408c)$. Если $409b-408c$ целое, то $f(1)$ делится на 3.
Условие совпадения при $x=1234$ слишком сильное, достаточно например делимости разницы на 3.

[nnosipov]

Удивительно примитивная задача. Она предлагалась в 2009 году на региональном этапе Всероссийской олимпиады 11-классникам и в списке задач шла под номером 7 (обычно такую позицию занимает довольно сложная задача, часто --- теоретико-числовая). Даже если бы эта система линейных уравнений и не оказалось неразрешимой по модулю 3, её не составило бы особого труда решить, используя стандартный алгоритм. Что в этой задаче вообще олимпиадного? Непонятно.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #640600 писал(а):

Удивительно примитивная задача. Она предлагалась в 2009 году на региональном этапе Всероссийской олимпиады 11-классникам и в списке задач шла под номером 7 (обычно такую позицию занимает довольно сложная задача, часто --- теоретико-числовая). Даже если бы эта система линейных уравнений и не оказалось неразрешимой по модулю 3, её не составило бы особого труда решить, используя стандартный алгоритм. Что в этой задаче вообще олимпиадного? Непонятно.

Да, меня это тоже удивило. Может это из-за снижения уровня? А может авторское решение было большим. Хотя не знаю, вдоре бы сразу эта система, которую все здесь пишут, сразу напрашивается.