Руст писал(а):
Это даёт решение |SS1|=6, SS1=-6QQ1/10. По видимому это решение невозможно. Надо проверить возможность образования квадрата.
К счастью для автора данной темы, у нас в конторе вчера полпятого отключили электричество, работать я не мог, и у меня было немного времени, чтобы аккуратно записать решение - пока не стемнело.

Задача решается следующим образом:
1. Задача действительно достаточно сложная, подозреваю, что это "задача-вышибала" - самая сложная задача в письменном экзамене. В крайнем случае, вторая по сложности. Прежде всего надо понять, - и это, на мой взгляд, самое трудное в задаче, что здесь присутствует симметрия. То есть, говоря вашим языком, "квадрат образуется всегда": проведем через центр шара плоскость, перпендикулярную всем линиям

(здесь и далее буква X обозначает любую из букв P,Q,R,S), очевидно это будет плоскость симметрии, т.к. она переводит наш шар в себя, каждую из прямых

также в себя, - и, следовательно, каждую из точек

в точку

и наоборот. Следовательно,

, т.е. это квадрат с той же стороной.
2. Второй момент - правильно нарисовать рисунок. В геометрической, и особенно - стереометрической задаче правильно нарисованный рисунок - это половина решения. Рисунок мы будем рисовать такой: Прямоугольную проекцию всех точек и отрезков на плоскость, перпендикулярную прямой

, обозначим эту прямую через
l. Надеюсь, для всех очевидно, что указанные плоскости пересекаются и что их пересечением является именно прямая линия. Штрихом, добавленным к обозначению точки, будем обозначать ее проекцию на нашу плоскость. Прежде всего, очевидно, что

для всех X. Через O мы обозначим проекцию линии
l на нашу плоскость. Далее очевидно, что образы никаких двух точек из {P,Q,R,S} не совпадут при нашем проектировании. Далее очевидно, что образом квадрата PQRS будет отрезок, предположим для начала, что это отрезки [Q'S'], тогда, очевидно, точки P' и R' лежат внутри этого отрезка, т.е. не совпадают с его концами. Пусть угол между прямой (PQ) и плоскостью проектирования равен

, тогда, очевидно, угол между прямой (QR) и плоскостью проектирования равен

. Тогда очевидно следующее:

,

,

,
где a=25/4 - сторона нашего квадрата.
3. Приняв во внимание все вышесказанное и учитывая, что

для всех X, получаем пресловутое равенство в векторной форме:

- заметьте, безо всяких там трапеций и их средних линий. Важно, что это векторное равенство справедливо в любом случае - и если в точке O пересекаются сами отрезки
![$[Q'S']$ $[Q'S']$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/a/98a9716094935aa2276f2e283ecfdca382.png)
и
![$[Q'_1S'_1]$ $[Q'_1S'_1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/9/b69087609d14724bfa9ec182c8689e4c82.png)
, и если в этой же точке пересекаются только их продолжения. Дальше надо рассматривать варианты. За положительное направление выберем направление вектора

и перепишем наше векторное равенство в проекции на это направление. Таким образом, у нас получается 4 варианата - каждый из векторов

может быть как сонаправлен с вектором

, так и направлен противоположно ему. Все 4 варианта мы обязаны рассмотреть. Результаты сведены в нижеследующую таблицу:
Код:
QQ1 PP1 RR1 SS1
-------------------------
10 2 6 -2
10 -2 6 -6
10 2 -6 -14
10 -2 -6 -18
Прежде всего, отсюда очевидно, что проекцией квадрата PQRS является действительно отрезок [Q'S'], а не [P'R'] - иначе мы бы получили в таблице положительное значение, большее

. Далее очевидно, что в любом случае в таблице присутствуют отрицательные значения, что означает в частность, что отрезки-проекции наших квадратов пересекаются в точке O.
4. Теперь, собственно, нам надо проверить, какой из этих вариантов реализуем "физически". Для этого мы используем неравенство треугольника для

и

. Скомбинировав оба условия в одно, получаем:
Важно отметить, что правая часть неравенства достигает максимума при

и этот максимум равен

. Соответственно, для отметания заведомо негодных третьего и четвертого варианта из таблицы будет достаточно использовать "ослабленный" критерий:

.
Легко убедиться, что два последних варианта из таблицы не удовлетворяют этому условию.
5. Осталось показать, что первый вариант подходит, а второй - нет. Для этого нам придется принять во внимание, что

. Анализируем:
1)

и наше условие реализуемости примет следующий вид:

. Легко проверить, что это условие истинно и, таким образом, вариант подходит.
2)

и наше условие реализуемости будет иметь следующий вид:

. Легко проверить, что это условие ложно, и, таким образом, второе решение не подходит.
В итоге получаем ответ:

.
Уфф, приятно было вспомнить детство - много подобных задач мы перерешали на контрольных (типовая контрольная - сдвоенный урок по математике, задают всего ДВЕ задачи, но эти задачи - две самые сложные из письменного экзамена по математике на мехмат).
Добавлено спустя 1 час 45 минут 8 секунд:
Вот, собственно, рисунки - чтобы было проще понять:
