Исследование функции

[Руст]

Рассмотрим для каждого фиксированного натурального n>1 решения уравнения в натуральных числах:

$$ (1) \ \ \prod_{i=1}^nx_i =\sum_{i=1}^nx_i.$$

Через f(x_1,x_2,...,x_n) обозначим $f(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{\sum_i(x_i-1)}{n},$ а через g(n)

$$g(n)=inf_{x_1,...,x_n}f(x_1,x_2,...,x_n),$$

где inf берётся по всем решениям (1).
1. Доказать, что $\frac{log_2(n)}{n}<f(x_1,x_2,...,x_n)\le 1.$
2. Доказать, что $\lim_{n\to \infty }g(n)=0.$
3. Как быстро стремится к нулю g(n)?

[RIP]

1. Сделаем замену переменных $x_i=1+y_i$. Тогда

$$n+y_1+\ldots+y_n=(1+y_1)\ldots(1+y_n)\leqslant2^{y_1+\ldots+y_n}.$$

Функция $g(t)=2^t-t$ возрастает при $t\geqslant1$, поэтому $y_1+\ldots+y_n\geqslant t_n$, где $t_n>1$ таково, что $g(t_n)=n$, т.е. $2^{t_n}=n+t_n>n$, $t_n>\log_2n$. Значит, $f(x_1,\ldots,x_n)=\frac1n(y_1+\ldots+y_n)>\frac{\log_2n}n$.
Далее,

$$n+y_1+\ldots+y_n=(1+y_1)\ldots(1+y_n)\geqslant1+y_1+\ldots+y_n+\sum_{i<j}y_iy_j.$$

WLOG, можно считать, что $y_1\leqslant y_2\leqslant\ldots\leqslant y_n$, тогда

$$\sum_{i<j}y_iy_j=y_1(y_2+\ldots+y_n)+y_2(y_3+\ldots+y_n)+\ldots+y_{n-1}y_n\geqslant y_1+\ldots+y_{n-2}+(y_{n-1}+y_n-1),$$

т.к. $y_{n-1}\geqslant1$.
Отсюдова получаем $f(x_1,\ldots,x_n)\leqslant1$ (видно, что это нер-во неулучшаемо).