Задача про компактный оператор.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Задача : для каких последовательностей $\lbrace \alpha_n \rbrace$ компактен оператор $(x_n) \mapsto (\alpha_n x_n)$ из $l^2$ в $l^1$ ?
Как-то сразу лезет в голову, что оператор будет компактен тогда, когда

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \alpha_n = 0$$

Но это не так : не все последовательности $\lbrace \alpha_n \rbrace$, которые сходятся к нулю, будут давать последовательность $\lbrace \alpha_n x_n \rbrace$, которая будет лежать в $l^1$. Есть предположение, что в добавок к сходимости к нулю, еще может понадобиться то, чтобы $\lbrace \alpha_n \rbrace$ $ \in l^2.$

[Oleg Zubelevich]

3.14 в сообщении #639647 писал(а):

в добавок к сходимости к нулю, еще может понадобиться то, чтобы $\lbrace \alpha_n \rbrace$ $ \in l^2.$

[ewert]

3.14 в сообщении #639647 писал(а):

еще может понадобиться то, чтобы $\lbrace \alpha_n \rbrace$ $ \in l^2.$

Это как раз первое ограничение, которое должно приходить в голову -- иначе этот оператор просто не был бы задан на всём пространстве. Ваша задача -- доказать, что при этом условии образ единичного шара предкомпактен (по-моему, проще всего указанием на то, что для любого эпсилона у этого образа есть предкомпактная эпсилон-сеть).

[3.14]

Вот есть такая теорема : Множество $ M \subset l^p, p \geqslant 1$ предкомпактно тогда и только тогда, когда
1) $M$ - ограничено
2) $\forall \varepsilon > 0$ $ \exists$ $ N = N(\varepsilon) : $ при всех $n > N$ $ \forall m = (m_1,m_2,...) \in M$ выполянется равенство

$$ \sum\limits_{k = n+1}^{\infty} |m_k|^p < \varepsilon $$

Для моей задачи получается :
1) $||Am||_{l^1} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} |\alpha_k m_k| \leqslant C$
2) $\forall \varepsilon > 0$ $ \exists$ $ N = N(\varepsilon) : $ при всех $n > N$ $ \forall m = (m_1,m_2,...) \in M$ выполянется равенство

$$ \sum\limits_{k = n+1}^{\infty} |\alpha_k m_k| < \varepsilon $$

Из этих двух условий я должен как-то понять какие мне условие нужно на $\lbrace \alpha_n \rbrace$ накладывать. (ну еще у нас $\lbrace x_n \rbrace \in l^2$)
Кроме тех условий, о которых я ранее говорил, что-то я других не вижу. Просто я сказал препадователю ответ, что $\alpha_n$ должны стремится к нулю, тогда и будет наш оператор компактен. Он сказал, что это не вся правда. Еще что-то нужно требовать от этой последовательности. Жду помощи)

[ewert]

3.14 в сообщении #640274 писал(а):

Еще что-то нужно требовать от этой последовательности. Жду помощи)

ewert в сообщении #639880 писал(а):

3.14 в сообщении #639647 писал(а):

еще может понадобиться то, чтобы $\lbrace \alpha_n \rbrace$ $ \in l^2.$

Это как раз первое ограничение, которое должно приходить в голову -- иначе этот оператор просто не был бы задан на всём пространстве.

Какая ещё нужна помощь?...

[3.14]

Так в итоге, что будет ответом? Какой должна быть последовательость $\lbrace \alpha_n \rbrace$ ?