Симпатичное неравенство

[arqady]

Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a^3+b^3+c^3=3$, докажите, что:

$$(a+b^2c^2)(b+a^2c^2)(c+a^2b^2)\geq8a^2b^2c^2$$

[Sinoid]

Минимум $\sqrt{abc}$ есть 1. Далее, $a+b^2c^2\geq2\sqrt{a}bc$ и также для других скобок. Перемножая, получу, что левая часть не меньше $8a^2b^2c^2\sqrt{abc}$, что и доказывает неравенство.

[Edward_Tur]

Sinoid в сообщении #640449 писал(а):

Минимум $\sqrt{abc}$ есть 1.

Максимум

[Sinoid]

Извиняюсь

[arqady]

Тем не менее, доказательство с помощью AM-GM существует.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #639509 писал(а):

Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a^3+b^3+c^3=3$, докажите, что:

$$(a+b^2c^2)(b+a^2c^2)(c+a^2b^2)\geq8a^2b^2c^2$$

$LHS =r^4+3r^2+r+q \ge 8r^2$

$r=abc$ , $ q=a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \ge \sqrt{3(a^3+b^3+c^3)(abc)^3}=3r^{\frac{3}{2}}$

$ \Leftrightarrow r^4-5r^2+3r^{\frac{3}{2}}+r \ge 0$ , $(0 \le r \le 1)$

[arqady]

Sergic Primazon в сообщении #643289 писал(а):

$ a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \ge \sqrt{3(a^3+b^3+c^3)(abc)^3}$

Именно это - решающая идея.