Максимум функции от двух переменных

[arqady]

Найдите наибольшее значение функции:

$$f(x,y)=\frac{(1+x)(1+y)(1-3xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}$$

[worm2]

Методом грубой силы.
Сначала догадываемся, что ответ равен 5/4 Потом доказываем:
Пусть $P=5(1+x^2)(1+y^2)$, $Q=4(1+x)(1+y)(1-3xy)$.
Выражение $P-Q$ стандартным образом (выделяя полный квадрат в квадратном трёхчлене относительно $x$) приводится к виду

$$A\left(x+\frac{12y^2+8y-1}{2A}\right)^2+\frac{(7y^2-4y-1)^2}{A},$$

где $A=17y^2+12y+5$. Легко видеть, что $A>0$, откуда $P-Q\geqslant 0$ как сумма квадратов, значит, $P\geqslant Q$, $Q/P\leqslant 1$. Дальше ничего нам не мешает приравнять оба квадрата к нулю и достигнуть оценки, но там уже некрасивые радикалы.

[ewert]

Если положить $x=\tg a$ и $y=\tg b$, то расследуемая дробь есть

$$(\cos a+\sin a)(\cos b+\sin b)(\cos a\cos b-3\sin a\sin b)=\left(\cos(a-b)+\sin(a+b)\right)\left(2\cos(a+b)-\cos(a-b)\right)\equiv$$

$$\equiv(t+s)(2c-t)=-t^2+t(2c-s)+2sc=-\left(t-\frac{2c-s}2\right)^2+\left(\frac{2c+s}2\right)^2\leqslant\dfrac54,$$

где $\dfrac{\sqrt5}2$ -- это максимум выражения $\dfrac12(2\cos z+\sin z)$. С нюансами там всё в порядке.

[arqady]

Китаец ji23 нашёл забавное решение:

$$\frac{(1+x)(1+y)(1-3xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{5}{4}-\frac{(1+7xy)^2+(2-5x-5y-6xy)^2}{20(1+x^2)(1+y^2)}\le\frac{5}{4}$$