$\int_a^t a(x)dx = A(t)$

[_20_]

Читаю Гельфанда "Вариационное исчисление". На странице 17 есть выражение пишется:
Лемма 2. Если
$\int_a^b (a(x)h(x)+b(x)h'(x))dx=0$ для каждой диференцируемой функции $h(x)$ такой, что $h(a)=h(b)=0$, то $b(x)$ дифференцируема и $a(x)-b'(x)=0$.
Действительно, положив
$\int_a^t a(z)dz = A(t)$
......
Что означает эта запись? Интегрирование по параметру? Где про это прочитать (желательно учебник и главу)?
Больше всего меня смущает изменение переменной. Было $a(x)$, стало $a(z)$...

[gris]

Запись $\displaystyle\int\limits_a^t f(z)\,dz$ означает "определённый интеграл с переменным верхним пределом", в любом учебнике по матанализу ему обязательно посвящена пара параграфов с таким или подобным названием. При определённых условиях конструкция является функцией верхнего предела, то есть $A(t)$.
Обозначение переменной интегрирования в определённом интеграле не имеет значения, но во избежания путаницы её часто обозначают неиспользуемой в рассуждениях буквой. Функция удобно дифференцируется.

[Joker_vD]

_20_ в сообщении #638593 писал(а):

Что означает эта запись?

Что мы вводим функцию $A\colon\mathbb R\to \mathbb R$, и полагаем ее значение в произвольной точке $t$ равным интегралу от нашей функции $a$ по отрезку $[a,t]$.

_20_ в сообщении #638593 писал(а):

Больше всего меня смущает изменение переменной.

Это вас не должно смущать никогда. $a(x)=x^2+1$ и $a(z)=z^2+1$ — одно и то же. Сущность функции не зависит от того, какой буквой вы обозначите ее аргумент: поэтому и существуют обозначения типа $f(.)$, $g({.},{.})$ — чтобы указать на количество переменных, но не вводить лишних ненужных букв. Эти буквы нужны лишь чтобы записать формулу вычисления функции: $f(x)=e^x-x$, к примеру. Но если вы не планируете выписывать такую формулу, запись "$f(x)$" избыточна: она не только говорит, что $f$ зависит от одной переменной (а это все, что нужно знать!), но и устанавливает обозначение аргумента функции... которое нигде не используется.

[AKM]

А вот буковка $a$ как нижний предел и как обозначение функции $a(x)$ --- наверное нехорошо.

-- 13 фев 2013, 17:16 --

Joker_vD в сообщении #680000 писал(а):

(Оффтоп)

Oooh, sneaky AKM, а как вы это заметили?