Решение уравнения второй степени с шестью переменными

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Обошёл квадратичные вычеты в одной задаче, приведя систему к следующему уравнению:

$2a^2+2b^2-c^2+2p^2+2q^2-r^2=0$
Если найти все целые решения этого уравнения, задача существенно продвинется. Думал применить теорему Лагранжа ( о том, что каждое натуральное число можно представить как сумму квадратов четырёх натуральных чисел, но очень быстро сообразил, что на самом деле пытаюсь использовать утверждение, обратное этой теореме, которое, конечно же, неверно. Если я сделаю замену (сведу к первой степени), опять вылезут квадратичные вычеты (а у меня такая задача, что все переменные должны быть найдены явно)... Что делать?

С уважением, Николай

[arsmagic]

$2(a^2+b^2+p^2+q^2)=c^2+r^2$

Первое свойство - $c \equiv r \pmod 2 $.
Соответсвенно a, b, p, q - уже определяются согласно теореме Лагранжа (с учетом возможных перестановок значений).
Для конкретной задачи необходимо уточнить область определения переменных.

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! С праздником!

arsmagic в сообщении #638465 писал(а):

уже определяются согласно теореме Лагранжа

Какой именно? У него их не одна...

arsmagic в сообщении #638465 писал(а):

Для конкретной задачи необходимо уточнить область определения переменных.

Все переменные положительны.

С уважением, Николай

[arsmagic]

Советую почитать тут о свойствах квадратов целых чисел.
И, по-моему, здесь более уместно отметить, что все переменные целые неотрицательные.