Правильно ли решено уравнение?

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Засомневался в правильности моего решения диофантова уравнения
$k_1a_1+k_2b_1+k_3c_1=0.$
Я обозначил $k_3=t_1$, $c_1=t_2$. Было известно, что$ k_3<0$, поэтому $t_1$ и $t_2$ больше нуля. Далее воспользовался тождеством:$ \frac{(t_1+t_2)^2-(t_1-t_2)^2}{4}=t_1t_2$, и получил такой вариант: $k_1=(t_1+t_2)$, $a_1=\frac{t_1+t_2}{4}$, $k_2=t_1-t_2$, $b_1=\frac{t_1-t_2}{4}$. Всё ли здесь так?

-- 30.10.2012, 23:44 --

думаю, нашёл только частное решение.

[Shadow]

Все правильно!
Наздоровье!

[Nikolai Moskvitin]

Nikolai Moskvitin в сообщении #638042 писал(а):

думаю, нашёл только частное решение.

а как найти в общей форме все решения? Ведь уравнение $k_1a_1=\frac{(t_1+t_2)^2}{4}$ имеет много решений, даже бесконечно много... Но получается, что одно из них обязательно кратно двум?

[ИСН]

Nikolai Moskvitin, у Вас бывало когда-нибудь, что включаете телевизор, там какой-то спорт, смотрите - и не можете понять, в какую игру играют?
Вот у меня такое сейчас. Кто неизвестные-то?

[Nikolai Moskvitin]

C праздником!

ИСН в сообщении #638450 писал(а):

Кто неизвестные-то?

В общем-то абсолютно все переменные, не являющиеся $t_n$- неизвестные.

[Nikolai Moskvitin]

Думаю, можно несколько обобщить, но опять же, не до конца:
$k_1=(t_1+t_2)2^d$, $a_1=(t_1+t_2)2^{d-2}$, где $d$- либо натуральное число, либо число, ему обратное
А может, вообще как-то так: $k_1=(t_1+t_2)t_3(2^{d_1})$, $a_1=\frac {(t_1+t_2)(2^{d_1})}{t_3}$где $d_1$ равно 0, -1 или -2. Тогда $t_1+t_2=t_3t_4$
Но ведь $t_1t_2$ можно получить и другими способами, значит, и это- не все решения. Неужели такое уравнение никогда не решалось ранее?

[Nikolai Moskvitin]

Решил или почти решил (воспользовавшись разными рекомендациями): запишем уравнение в виде $ax+by+cz=0$. Тогда $x=a\pm bn$, $y=b\mp an$, $z=c(1\pm n)$, где $n=\frac{a^2+b^2+c^2}{c^2}$.
a, b, c- натуральные, а n-целое.

[bot]

А Вы подставьте.

[Nikolai Moskvitin]

Подставил! Точно сходится! Только в выражении для n знак $\pm$ добавить.
Проблема только в том, что это могут быть не все решения. Хотя вроде бы я охватил всё множество вершин целочисленной решётки, соответствующее задаче (я её использовал).

[bot]

Возьмите почти наугад $a, b, c$ и посчитайте $n$. Например, $a=1, b=2, c=3$

[Nikolai Moskvitin]

Т.е. надо ещё, чтобы $a^2+b^2+c^2$ делилось на $c^2$. И ещё можно домножить все переменные на целый параметр d (тогда точно будут все решения).

-- 11.11.2012, 15:54 --

Пришёл к выводу, что надо решить уравнение $a^2+b^2=kc^2$
где a, b, c - натуральные, а k-целое

[bot]

Nikolai Moskvitin в сообщении #642999 писал(а):

Т.е. надо ещё

Не надо - лучше почитайте здесь или сами погуглите линейное диофантово уравнение

[Nikolai Moskvitin]

bot, но тогда я не нашёл все решения. Потому что указанное мной условие вовсе не является необходимым и достаточным. Что делать?

-- 11.11.2012, 16:58 --

Да, bot. Это глубоко частные решения. Все решения, вообще говоря...могут соответствовать всем целым числам, если, например, a, b и c равны. Даже немного забавно, что я сразу этого не заметил. Но в моём случае как раз такого быть не может (таковы условия задачи). А в других случаях все решения соответствуют точкам с целочисленными координатами, лежащим на окружностях, имеющих центр в конце вектора ${a,b,c}$ и проходящими через одну из найденных точек. Это вроде бы не так трудно. Надо мне быть внимательнее!

[bot]

Чтобы не бродить в потёмках - читать. Начните с $ax+by=c$ - собственно этого Вам будет и хватит, ибо $z$ можно объявить параметром и, считая его заданным, отправить вместе с $c$ направо.
Вышепредложенный случай $x+2y+3z=0$ совсем простой - объявляем $y$ и $z$ параметрами, а $x$ вычисляем из уравнения. В общем случае решение уравнения $ax+by+cz=0$ тоже будет зависеть от двух произвольных параметров, однако уже не так всё будет просто - придётся повозиться с делимостью.

[Nikolai Moskvitin]

Последний раз- прощаюсь с использованным методом...:) Выясняется, что уравнение $ax+by+cz=0$, скажем как можно осторожнее, связано с уравнением $x^2+y^2+z^2=k(a^2+b^2+c^2)$ Я не утверждаю, что они равносильны...просто есть связь частных случаев. Всё! Следую указаниям опытных участников и ухожу пока от точечных решёток.