Свойства вычетов по модулю P^2

[vasili]

Свойства вычетов по модулю $P^ 2$
Уважаемые Форумчане!

1.Меня заинтересовали (в связи с работой над ВТФ) свойства той части вычетов по модулю $P^ 2$ (P – простое число > 3), индексы, которых по указанному модулю, равны $mP$, где m пробегает систему наименьших натуральных вычетов по модулю P, т.е.
$m = 1, 2, 3,\idots\, (P – 1)$.
2. Пусть {R} совокупность таких вычетов по модулю $P^2$.
3. Частные примеры (ниже) совокупностей вычетов {R} по модулям $5^2,7^2,11^2,13^2,17^2,19^2,31^2$ указывают на существовании у таких совокупностей вычетов интересных свойств, а именно:
3.1. Если простое число P имеет вид 6n + 1 в частности числа 7,13,19 и 31, то в каждой совокупности вычетов {R} по соответствующим модулям $7^2,13^2,19^2 и 31^2$ имеются только 2(две) пары чисел $(R-1 , U-1) и (R-2 , U-2)$ таких, что
$ R-1 - U-1 =1$ $R - 2 – U - 2 = 1 $ (а)
.
3.2. Если простое число P имеет вид $6n + 5$ в частности числа 5, 11 и 17, то в каждой совокупности вычетов {R} по соответствующим модулям $5^2,11^2 и 17^2$ нет ни одной пары чисел удовлетворяющих условию (а).

Предлагаю доказательство наличия 2(двух) пар чисел в совокупности вычетов {R}, если P имеет вид 6n + 1.

Очевидно в {R} имеются вычеты (далее числа) принадлежащие показателям 6 и 3 по модулю $P^2$, так как функция Эйлера$φ((6n + 1)2) = 6n(6n + 1)$ делиться на 6 и на 3.

--Пусть число $R - 1$ принадлежит показателю 6 по модулю $P^2,$, т.е.
$R-1 ^ 6 \eguiv 1\pmodP ^ 2$ Rightarrow $R-1 ^ 3 + 1 \eguiv0\pmodP ^ 2$, таких чисел в множестве {R} равно

$φ (6) = 2 $ и пусть второе число $R-2 > R-1 >1$ и $R-2^ 3 + 1\eguiv0\pmod P ^ 2$, тогда
$R-1 ^ 3 + 1\eguiv(R-1 + 1)(R-1 ^ 2 - R-1 + 1)\eguiv0\pmodP ^ 2$
Rightarrow $R-1 ^ 2 - R-1 + 1\eguiv0\pmodP ^ 2$ , (а)
$R-2^ 3 + 1\eguiv(R-2 + 1)(R-2^ 2 - R-2 + 1)\eguiv0\pmodP ^ 2$
Rightarrow $R-2^ 2 - R-2 + 1\eguiv0\pmodP ^ 2$. (б)

Числа $R-1 + 1$ и $R-2 + 1$ не могут быть сравнимы с нулем по модулю$P ^ 2$ , так как в противном случае числа $R-1$ и $R-2$ принадлежали бы показателю 2, а не 6.

Вычтем из сравнения (б) сравнение (а)
$(R-1 – R-2)(R-1 + R-2 - 1)\tguiv0\pmod P ^ 2 $
Rightarrow $R-1 + R-2 - 1\eguiv0\pmod P ^ 2 $ Rightarrow
$R-1\eguiv 1 - R-2\pmod P ^ 2$,
$R-2\eguiv 1 - R-1\pmod P ^ 2$.

--Пусть число$U-1$ принадлежит показателю 3 по модулю $P ^ 2$, т.е.
$U-1^ 3\eguiv 1\pmod P ^ 2$ Rightarrow
$U-1^ 3 - 1\eguiv 0\pmod P ^ 2$, таких чисел в множестве {R} равно
$φ (3) = 2$φ (3) = 2 и пусть второе число $U-2 > U-1$ и $U-2^ 3 - 1 \eguiv 0\pmod P ^ 2$, тогда
$U-1^ 3 - 1\eguiv(U-1 - 1)(U-1^ 2 + U-1 + 1)\\eguiv 0\pmod P ^ 2$
Rightarrow $U-1^ 2 + U-1 + 1\eguiv 0\pmod P ^ 2 $, (в)
$U-2^ 3 - 1\eguiv(U-2 - 1)(U-2^ 2 + U-2 + 1)\eguiv 0\pmod P ^ 2$
Rightarrow $U-2^ 2 + U-2 + 1\eguiv 0\pmod P ^ 2$. (г)
число $U-1$ не может равняться 1 в противном случае оно не принадлежало бы показателю 3 по модулю $P ^ 2$, а число $U-2 > U-1$ тем более не равно 1.

Вычтем из сравнения (г) сравнение (в)pm
$(U-2 – U-1)(U-2 + U-1 + 1)\eguiv 0\ pmod P ^ 2 $
Rightarrow $U-2 + U-1 + 1\eguiv 0\pmod P ^ 2$ Rightarrow
$U-1\eguiv - 1 - U-2\pmod P ^ 2$,
$U-2\eguiv - 1 - U-1\pmod P ^ 2$.

Анализ сравнений (а), (б), (в) и (г).

Из сравнения (а) вычтем сравнение (в)
$(R-1 + U-1)(R-1 - U-1 - 1)\eguiv 0\pmod P ^ 2$
Rightarrow $R-1 - U-1 - 1\eguiv 0\pmod P ^ 2$ Rightarrow
$(R-1 - U-1)\eguiv 1\pmod P ^ 2$. (д)

Из сравнения (б) вычтем сравнение (г)
$(R-2 + U-2)(R-2 - U-2 - 1)\eguiv 0\pmod P^2$ Rightarrow
$R-2 - U-2 - 1\eguiv 0\pmod P ^ 2$ Rightarrow
$R-2 - U-2 \eguiv 1\pmod P ^ 2$ (е)
Числа $(R-2 + U-2)$ и $R-1 + U-1$
не сравнимы с нулем по модулю $P ^ 2$.
Докажем от противного.
Пусть$(R-2 + U-2)\eguiv 0\pmod P ^ 2$, тогда благодаря сравнениям $R-2\eguiv 1 - R-1\pmod P ^ 2$ и $U-2\eguiv - 1 - U-1\pmod P ^ 2$, имеем
$1 - R-1 + (- 1 - U-1)\eguiv -(R-1 + U-1)\eguiv 0\pmod P ^ 2$,
Отсюда $R-1 + U-1 = P ^ 2$, так как $R-1 < P ^ 2$ и $U-1 < P ^ 2$, но так как $R-2 > R-1$ и $U-2 > U-1$, то тогда должно$R-2 + U-2 = 2P ^ 2$,
что невозможно, так как $R-2 < P ^ 2$ и $U-2< P ^ 2$.
Пусть теперь$R-1 + U-1\eguiv 0\pmod P ^ 2$, тогда благодаря тем же сравнениям имеем
$1 - R-2 + (-1 - U-2)\eguiv - (R-2 + U-2)\\eguiv 0\pmod P ^ 2$, отсюда $R-2 + U-2 = 2P ^ 2$, что
невозможно.
Пришли к противоречию, значит утверждение, верно.
Так как числа$(R-1, U-1, R-2, U-2) < P ^ 2$, то из сравнений (д) и (е) следует
$R-1 - U-1 = 1$,
(ж)
$ R-2 - U-2 = 1$,
т.е. установлено существование в множестве {R} 2(двух) пар чисел
$(R-1 и U-1)$ и $R-2 и U-2$, удовлетворяющих условиям (ж).
Выскажем Утверждения.
Утверждение 1. Если $Р = 6n + 1$, то в множестве {R} существует только
2(две) пары чисел, удовлетворяющие условиям (ж).
Утверждение 2. Если Р = 6n + 5, то в множестве {R} не существует ни одной
пары чисел, удовлетворяющие условиям (ж), так функция Эйлера
$φ((6n + 5)2) = (6n + 4)(6n + 5) $
не делиться на 6, а значит и на 3.

Уважаемые Форумчане! Я доказал наличие (для $P =6n + 1$) в множестве {R} 2(двух) пар чисел удовлетворяющих условию (ж), но доказать, что их только две пары (не более) не удалось. Одновременно справедливо ли распространять вышеприведенную логику доказательства на множество {R} для P = 6n + 5? Прошу помощи. Василий Полежаев.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам: ошибки в оформлении формул.
Греческая "фи" пишется \varphi.
\rightarrow, как и всякая другая команда $\LaTeX$'a, на, (а)чинается с обратного слэша и должна быть внутри формулы.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 30 окт 2012, 20:10 --

Для выделенных (нумерованных) формул рекомендую конструкцию $$ .... \eqno(1)$$:

$$R-1^2-R-1 + 1\equiv 0\pmod {P^2}\eqno(1)$$

С виду ерунда какая-то, но у Вас ерунда ещё хуже:

$R-1 ^ 3 + 1\eguiv(R-1 + 1)(R-1 ^ 2 - R-1 + 1)\eguiv0\pmodP ^ 2$
Rightarrow $R-1 ^ 2 - R-1 + 1\eguiv0\pmodP ^ 2$, (а)

$R-1 ^  3 + 1\eguiv(R-1 + 1)(R-1 ^  2 -  R-1 + 1)\eguiv0\pmodP ^ 2$
Rightarrow     $R-1 ^  2 - R-1 + 1\eguiv0\pmodP ^ 2$,                (а)

Должно быть типа

$$R-1^3+1\equiv(R-1+1)(R-1^2-R-1+1)\equiv0\pmod{P^2}\Rightarrow  R-1^2-R-1+1\equiv0\pmod{P^2} \eqno(1)$$

\equiv (от слова эквивалентно)
\pmodP, \pmodP ^ 2 --- неправильно
\pmod P, \pmod{P^2} --- правильно
\{R\}: $\{R\}$

[AKM]

Очередной дубль темы, помещённой в Карантин. Несмотря на предупреждение.

Теперь недельный бан.