Критерий факториальности

[nnosipov]

Пусть $R$ --- целостное кольцо (область целостности), в котором каждый ненулевой элемент допускает разложение в произведение простых элементов. Докажите, что $R$ факториально тогда и только тогда, когда любые два элемента из $R$ имеют наибольший общий делитель.

Наибольшим общим делителем элементов $a,b \in R$ называется такой их общий делитель, который делится на любой общий делитель этих элементов. Ненулевой элемент $p \in R$ называется простым, если он необратим и его нельзя представить как произведение необратимых элементов из $R$.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #637566 писал(а):

Докажите, что $R$ факториально тогда и только тогда, когда любые два элемента из $R$ имеют наибольший общий делитель.

В одну сторону $\boxed{\Rightarrow}$, вроде как, понятно. Если $a$ и $b$ единственным образом разлагаются в произведение простых (с точностью до умножения простого на обратимый), то можно сразу указать $(a,b)=\prod{p^{\min(\nu_p(a),\nu_p(b))}}$.
Но это, если множество общих делителей $a,b$ непусто. А почему это так? Факториального кольца без единицы быть не может?

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #658507 писал(а):

В одну сторону $\boxed{\Rightarrow}$, вроде как, понятно.

Не просто понятно, а очевидно. Интерес представляет доказательство в другую сторону.

Mathusic в сообщении #658507 писал(а):

Факториального кольца без единицы быть не может?

Факториальное кольцо по определению является целостным, а значит, с единицей.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #658579 писал(а):

целостным, а значит, с единицей

Так целостное же -- без делителей нуля. Существование единицы откуда следует?

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #658580 писал(а):

Существование единицы откуда следует?

Считайте это частью определения целостного кольца.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #658587 писал(а):

Считайте это частью определения целостного кольца.

Хорошо, в данной теме будем считать так.

У меня пару замечаний по поводу определений

nnosipov в сообщении #637566 писал(а):

в котором каждый ненулевой элемент допускает разложение в произведение простых элементов

Вероятно, нужно сказать, что каждый ненулевой необратимый допускает нужное разложение. Иначе определение нехорошее.

nnosipov в сообщении #637566 писал(а):

$p \in R$ называется простым, если он необратим и его нельзя представить как произведение необратимых элементов из $R$.

Вот тут тоже странно. Ведь если $q$ необратим, то он равен произведению необратимых, состоящих из одного элемента.
Вероятно, такое определение подойдёт:
$q$ -- простой, если из $q=ab$ следует, что либо $a$, либо $b$ обратим.

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #658745 писал(а):

Хорошо, в данной теме будем считать так.

В довольно большой куче учебников (а также, например, в "Математическом энциклопедическом словаре") определяют область целостности как коммутативное кольцо с единицей $1 \neq 0$, в котором нет делителей нуля. Так считают не только в этой теме.

Mathusic в сообщении #658745 писал(а):

Вероятно, нужно сказать, что каждый ненулевой необратимый допускает нужное разложение. Иначе определение нехорошее.

Наличие обратимого элемента в разложении в качестве обязательного сомножителя предполагалось по умолчанию. Тоже есть в учебниках (например, см. определение факториального кольца в Кострикине, "Основы алгебры", М.: Физматлит, 2000).

Mathusic в сообщении #658745 писал(а):

Вероятно, такое определение подойдёт:
$q$ -- простой, если из $q=ab$ следует, что либо $a$, либо $b$ обратим.

Так обычно и пишут, а я решил сэкономить на слове "двух".

Надеюсь, теперь с буквоедством мы покончили, и можно заняться делом --- доказать критерий в ту самую интересную сторону.

[Mathusic]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #658776 писал(а):

Надеюсь, теперь с буквоедством мы покончили

Хорошо.
Вот поясните такую вещь еще, пожалуйста.

nnosipov в сообщении #637566 писал(а):

целостное кольцо (область целостности), в котором каждый ненулевой элемент допускает разложение в произведение простых элементов.

Это условие в данной задаче ведь существенное? Существуют ли области целостности, где есть простые элементы, но где не всякий эл-т раскладывается в произведение простых?

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #658799 писал(а):

Это условие в данной задаче ведь существенное?

Существенно в том смысле, что из существование НОД любых двух элементов не вытекает существование разложения в произведение простых элементов (по той причине, что простых элементов может вообще не быть). Можно ли его заменить каким-то более слабым условием, я не знаю.

Mathusic в сообщении #658799 писал(а):

Существуют ли области целостности, где есть простые элементы, но где не всякий эл-т раскладывается в произведение простых?

Хороший вопрос. Кандидатом на эту роль могло бы быть кольцо $R$ чисел вида $\sum m_i2^{r_i}$, где $m_i \in \mathbb{Z}$, а $r_i$ --- двоично-рациональные положительные числа или ноль. Здесь элемент $2 \in R$ не разлагается в произведение простых элементов (это я когда-то доказывал, но сейчас не помню как именно). Но пример простого элемента в этом кольце привести не могу.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #658776 писал(а):

доказать критерий в ту самую интересную сторону

$\boxed{\Leftarrow}$ несложно доказывается при помощи того, что всякий элемент в $R$ допускает разложение на простые, и Утверждения.

Обозначения.
Некоторые очевидные свойства этих понятий будут опущены.

$R^{-1}$ -- множество обратимых элементов кольца $R$.
Если $x,y \in R$ ассоциированы (т.е. $x \in yR^{-1}$), пишем $x \sim y.$
$\mathcal{D}(a,b)$ -- множество всех общих делителей $a$ и $b.$
$(a,b)$ -- множество их наибольших общих делителей. Если $c \in (a,b)$, пишем $(a,b)=c.$

Утверждение
Пусть любые два элемента из целостного кольца $R$ имеют НОД.
Тогда если $p \in R$ -- простой, то $p|ab \Longrightarrow$ $p|a$ или $p|b.$

Доказательство
Предположим, что $p\not| \ a.$ Покажем, что тогда $p|b.$
Заметим сначала, что $(a,p)=1.$ Действительно, в противном случае существует такой непростой элемент кольца $q,$ что $q|a$ и $q|p. $
$q|p \Leftrightarrow \exists h: \ p=hq \ \Rightarrow h \in R^{-1}$ (по определению простого элемента), значит $p \sim q \Rightarrow p|a.$ Противоречие.

Итак, $(a,p)=1.$ Положим теперь $(ab,pb) = c,$ тогда $c|ab$ и $c|pb$ $\Rightarrow \exists x,y: ab = xc, \ pb = yc.$
Далее, так как $b \in \mathcal{D}(ab, pb),$ то $b|c$ по определению НОД. Тогда $\exists z: \ c = bz \ (*),$ значит $ab=xbz$ и $pb = ybz,$
откуда в силу целостности кольца получаем: $a = xz$ и $p = yz.$ Отсюда следует, что $z \in R^{-1},$
поскольку $z|a$ и $z|p$ влечет $z|1 = (a,p).$ Тогда $(*) \Rightarrow c \sim b,$ значит, $b = (ab,pb).$
Остаётся заметить, что $p \in \mathcal{D}(ab, pb),$ и тогда $p|b.$

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #678465 писал(а):

$(a,b)$ -- множество их наименьших общих делителей.

Наверное, наибольших. Остальное завтра почитаю, сегодня уже поздно.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #678483 писал(а):

Mathusic в сообщении #678465 писал(а):

$(a,b)$ -- множество их наименьших общих делителей.

Наверное, наибольших. Остальное завтра почитаю, сегодня уже поздно.

Естественно, спасибо. Поправил сообщение.

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #678465 писал(а):

в противном случае существует такой непростой элемент кольца $q,$ что $q|a$ и $q|p. $

Ещё одна опечатка: вместо "непростой" нужно "необратимый". А в остальном всё верно. Продолжение сюжета здесь topic48603.html