лагранжева система

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим гладкую натуральную лагранжеву систему $L=\frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j-V(x),\quad x=(x^1,\ldots, x^m)\in\mathbb{R}^m.$ Предположим эта система имеет первый интеграл $f=a_i(x)\dot x^i,\quad a=(a_i)\ne 0$.
Доказать, что локально существует замена координат $x\mapsto q=(q^1,\ldots, q^m)$ такая, что в новых координатах этот первый интеграл является циклическим: $f=\frac{\partial L}{\partial \dot q^1}$

[scwec]

Сошлюсь на http://dxdy.ru/topic55479.html. Векторное поле $X$ берем из условий необходимости первого сообщения. $X$ в окрестности любой точки $x_0$, $X(x_0)\ne{0}$ выпрямляется в некоторых координатах $q^1,q^2,...,q^n$ и $X=\frac{\partial}{\partial{q^1}}$. В этих координатах линейный интеграл записывается как циклический $\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q^1}}=\operatorname{const}$.

[Oleg Zubelevich]

Угу. Но сам по себе факт классический.

[scwec]

Пусть та же система, но имеется $k<n$ независимых линейных по скоростям первых интегралов. Напишите условия для того, чтобы все эти первые интегралы в некоторой системе координат были циклическими.

[Oleg Zubelevich]

ну наверное соответствующие векторные поля коммутируют

[scwec]

Это так, а если не привлекать векторные поля и перейти обычным образом к гамильтоновой системе, то все $k$ первых интегралов должны быть в инволюции, т.е. все скобки Пуассона $(f_i,f_j)=0$.

[Oleg Zubelevich]

а я как раз и имел в виду переход к гамильтоновой системе, тогда естественным образом возникает векторное поле $b^j=a_ig^{ij}$ и первый интеграл приобретает вид $b^jp_j$

[scwec]

Лагранжев подход срабатывает и в случае непотенциальной силовой формы. И в этом случае линейный интеграл является циклическим.
$\frac{\partial{T}}{\partial \dot q^1}=\operatorname{const}$

[Oleg Zubelevich]

если это так, то я думаю, что и в этом случае преобразование Лежандра приведет к требуемому результату по тойже схеме, хотя мы и не получим уравнений Гамильтона