Тригонометрические функции - second condition.

[SteelRend]

Всем большое спасибо за ответы в прошлой теме! Но у меня снова появились вопросы! А завис я на
1. Найти область определения ф-ции $y=\lg\vert\tg x - \ctg x \vert$
2. Найти множество значений $y=\tg \vert x+\frac{\pi}{2}\vert \cdot \ctg \vert x-\frac{\pi}{2}\vert$
3. Найти множество значений $y= \tg 4x + 3\ctg 4x$

1) Как мы бы не раскрыли знак модуля,
$\tg x \ne \ctg x$
$x \notin \{\frac{\pi}{4}+2 \pi n \}\cup\{\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\}, n \in Z$

$\tg x$ определён при
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$
И, соответственно, $\ctg x$:
$x \ne \pi n, n \in Z$
и $x \ne \frac{\pi n}{2}, n \in Z$

То есть, $x \notin \{\frac{\pi}{4}+2 \pi n \}\cup\{\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\}\cup\{\frac{\pi n}{2}\}, n \in Z$ А все ЭТИ точки объединяются $x \ne \frac{\pi n}{4}$
Да?

[ewert]

1). Выкиньте точки, где либо тангенс нехорош, либо котангенс, либо они равны.

2) Используйте формулы приведения.

3) Возьмите тангенс в качестве новой переменной -- задача сведётся к стандартной алгебраической.

-- Вс окт 28, 2012 13:57:02 --

SteelRend в сообщении #636806 писал(а):

1) $\tg x$ определён при всех всех $x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{8}, n \in Z$
$\ctg x$ определён при всех $x \ne \frac{\pi n}{8}, n \in Z$

Это -- новое слово в науке (даже два слова).

[SteelRend]

"Это -- новое слово в науке (даже два слова)."
Вот чёрт, я же имел в виду $\tg 4x$., и не первый пример, а третий!
Значит $\tg 4x$ определён при
$4x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$
$x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z.$ Так?

И, соответственно, $\ctg 4x$:
$4x \ne \pi n, n \in Z$
$x \ne \frac{\pi n}{4}, n \in Z$

Все эти точки подходят под формулу
$x \ne \frac{\pi n}{8}, n \in Z$.
Пока верно?

-- 28.10.2012, 14:16 --

А в первом: Как мы бы не раскрыли знак модуля,
$\tg x \ne \ctg x$
$x \notin \{\frac{\pi}{4}+2 \pi n \}\cup\{\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\}, n \in Z$

$\tg x$ определён при
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$
И, соответственно, $\ctg x$:
$x \ne \pi n, n \in Z$
и $x \ne \frac{\pi n}{2}, n \in Z$

То есть, $x \notin \{\frac{\pi}{4}+2 \pi n \}\cup\{\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\}\cup\{\frac{\pi n}{2}\}, n \in Z$ А все ЭТИ точки объединяются $x \ne \frac{\pi n}{4}$
Да?

[Shtorm]

SteelRend в сообщении #636819 писал(а):

Пока верно?

Ситуация напоминает вчерашнюю Я Вам рекомендую прежде чем решать этот пример (нахождение области значений функции) сначала на компьютере построить график функции.

[ewert]

Shtorm в сообщении #636827 писал(а):

рекомендую прежде чем решать этот пример (нахождение области значений функции) сначала на компьютере построить график функции.

Вот уж его делать не следует -- компьютерные графики строятся слишком уж точно и потому зачастую сильно искажают представление о сути дела.

SteelRend в сообщении #636819 писал(а):

$x \ne \frac{\pi n}{8}, n \in Z$.
Пока верно?

Пока да. Только всё это совершенно ни к чему -- просто сделайте ту замену (её всё равно делать придётся).

SteelRend в сообщении #636819 писал(а):

$x \notin \{\frac{\pi}{4}+2 \pi n \}\cup\{\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\}, n \in Z$

Да, только эту запись лучше упростить.

[SteelRend]

Ув. ewert, замену я уже делал
$y= \tg x + \frac{3}{\tg x}$
$\tg x = t$
$y=t+\frac{3}{t}$
если $\tg x \in (-\infty;0)\cup(0 ; +\infty)$, то и $t \in (-\infty;0)\cup(0 ; +\infty)$. Верно?

[ewert]

SteelRend в сообщении #636837 писал(а):

если $\tg x \in (-\infty;0)\cup(0 ; +\infty)$, то и $t \in (-\infty;0)\cup(0 ; +\infty)$. Верно?

Совершенно верно, и этого более чем достаточно. От Вас же никто не требовал выписывать явно область определения исходной функции; так зачем же делать ненужную работу?...

[SteelRend]

М/б так оно и есть, но с ответом, понятное дело, не сходится. Почему там $E(y)=(-\infty ; -2\sqrt{3}]\cup[2\sqrt{3} ; +\infty)$?

[ewert]

SteelRend в сообщении #636857 писал(а):

М/б так оно и есть, но с ответом, понятное дело, не сходится. Почему там $E(y)=(-\infty ; -2\sqrt{3}]\cup[2\sqrt{3} ; +\infty)$?

Потому, что Вы ответ даже и не пытались найти. Вы пока что всего лишь выписали область, которую пробегает новая переменная.

[SteelRend]

ewert в сообщении #636881 писал(а):

SteelRend в сообщении #636857 писал(а):

М/б так оно и есть, но с ответом, понятное дело, не сходится. Почему там $E(y)=(-\infty ; -2\sqrt{3}]\cup[2\sqrt{3} ; +\infty)$?

Потому, что Вы ответ даже и не пытались найти. Вы пока что всего лишь выписали область, которую пробегает новая переменная.

Хм а дальше тогда что делать? Х подставлять?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Condition переводится «условие». Не хотели ли вы иметь в виду edition?

[ewert]

SteelRend в сообщении #636919 писал(а):

Хм а дальше тогда что делать? Х подставлять?

Тупо: или стандартно исследовать поведение функции дифференцированием и пр., или не менее стандартно искать значения параметра $a$, при которых уравнение $y(t)=a$ имеет решения. Или просто сразу написать ответ: эту функцию Вы, в общем-то, обязаны знать в лицо.

[SteelRend]

arseniiv в сообщении #636954 писал(а):

(Оффтоп)

Condition переводится «условие». Не хотели ли вы иметь в виду edition?

Нет, именно condition!

ewert,
1. дифференцирование - проблемы здесь две(кроме меня):
I. Мы это не проходили;
II. А даже если и проходили(что опять же не так) - тема "тригонометрические функции" идёт до производной и дифференциала, т.е. совершенно точно можно обойтись без дифференцирования.
2. С параметром - т.е. перебирать? Насчёт этого подробнее, пожалуйста.
3. Это как?

Ладно, просто скажи: как найти множество значений функции, если известна область определения?
К примеру, как найти $E(y)$ ф-ции $y=\frac{3}{x}$

[ewert]

SteelRend в сообщении #636967 писал(а):

2. С параметром - т.е. перебирать?

Т.е. не перебирать. Вы же решали уравнения с параметром -- даже такие сложные, как квадратные. А тут даже и решать до конца не надо -- надо лишь начать решать, выяснить, при каких значениях параметра решение существует и на этом остановиться.

[SteelRend]

ewert в сообщении #636991 писал(а):

SteelRend в сообщении #636967 писал(а):

2. С параметром - т.е. перебирать?

Т.е. не перебирать. Вы же решали уравнения с параметром -- даже такие сложные, как квадратные. А тут даже и решать до конца не надо -- надо лишь начать решать, выяснить, при каких значениях параметра решение существует и на этом остановиться.

Ну вот: $y=t + \frac{3}{t}=\frac{t^2+3}{t}$
$t \ne 0$, очевидно.
Значит, $t \in (-\infty ; 0)\cup(0 ; +\infty)$ и $\frac{t^2+3}{t} \in (-\infty ; 0)\cup(0 ; +\infty)$(ведь $t=0$ - точка разрыва). Т.е. $y \in (-\infty ; 0)\cup(0 ; +\infty)$ и $E(y)=(-\infty ; 0)\cup(0 ; +\infty)$
Так же, нет?