Теория Лифшица-Слёзова. Коалесценция.

[r0ma]

Здравствуйте!
Сейчас разбираюсь с коалесценцией. Базовая литература у меня это не что иное как ЛЛ Х, параграф 100.
Есть несколько, грубо говоря, ламерских вопросов по, собственно, постановке задачи.

Во-первых, что такое зародыш? В ЛЛ написано - скопление новой фазы. Но почему-то меня это объяснение не удовлетворяет. Что такое в этом определении значит слово скопление? Можно как-то это выразить математически или ещё как, потому что без комментариев это слово мне непонятно применительно к данной ситуации.

Второй вопрос, почему появление поверхности раздела - энергетически невыгодно? Откуда это следует?

Почему образование зародышей - процесс флуктуационный? В чём именно состоит флуктуация?

Ну и собственно как я представляю этот процесс. Вот есть два вещества. На пальцах: одно вверху, второе внизу, а между ними граница раздела. Каким-то образом происходит выпадение того вещества, которое вверху на вещество, которое внизу. Там образуются скопления, которые, как я понял, и называются зародышами (соответственно постепенно с выпадением сдвигается и граница раздела вверх, в данной геометрии). Некоторые побольше, некоторые поменьше. Существует какой-то критический размер этого зародыша, больше которого он разрастается и поглощает зародыши меньшего крит. размера. Соответсвенно, зародыши меньшего крит размера рассасываются. Вот как-то так я представляю на пальцах эту картину. Причём, как я понимаю, через некоторое время происходит кристаллизация зародышей. Т.е. это значит, что они больше не могут разрастаться. Это верно?

Да, и что такое пересыщение?

Очень бы хотелось обсудить подробно, т.к. мне надо подготовить семинар на эту тему к четвергу.

[GraNiNi]

r0ma в сообщении #636766 писал(а):

Что такое в этом определении значит слово скопление?

Второй вопрос, почему появление поверхности раздела - энергетически невыгодно? Откуда это следует?

Почему образование зародышей - процесс флуктуационный? В чём именно состоит флуктуация?

1.Скопление - объединение разрозненных молекул в компактное образование.
2.На образование поверхности вещества затрачивается энергия. Простой пример - дробление, размалывание.
3.Флуктуации - неуправляемое (статистическое) изменение плотности, концентрации, например, растворенных веществ, в результате теплового движения молекул.

[Munin]

Не понял про два вещества. Вот есть одно вещество - критический пар. В нём молекулы тусуются случайным образом, возникают флуктуации т.д. параметров: плотности, скоростей молекул и т. п. Например, образуется область, в которой плотность повышена, а средняя скорость молекул понижена. В нормальном случае (в идеальном газе, например), она как образовалась, так тут же и исчезла: молекулы ничто не держит вместе. Если пар в критическом состоянии, то такая область уже ведёт себя как жидкость, и может "залипнуть" в состоянии жидкости, но это зависит от конкретных размеров этой области, и прочих деталей. Её и рассматривают как зародыш.

Грубо говоря, пусть термодинамические параметры - это некоторые случайные функции от точки $(x,y,z).$ Если они в какой-то области превысили пороговые значения, то эта область рассматривается как другая фаза, а её граница - граница фаз. В реальности, конечно, пороговое значение не точная величина, а некоторый диапазон. Но как только область начинает вести себя как жидкость, то и граница у неё оформляется как более резкая.

[r0ma]

GraNiNi, спасибо

Munin, ага, спасибо. С этим ясно. Я не очень верно себе это представлял, т.к. была небольшая каша в голове. Сейчас вроде всё прояснилось. Ну более-менее.

Возникли в ЛЛ проблемы с математикой. Вот он пишет:

$$\frac{da}{dt}=\frac{D}{a}\left(\Delta-\frac{\sigma}{a}\right)$$

Будем измерять время в единицах $\frac{a_{k}^{3}(0)}{D\sigma}$
Т.е. как, я понял, 1 секунда есть:

$$1=\frac{a_{k}^{3}(0)}{D\sigma}\Rightarrow a_{k}^{3}(0)=D\sigma.$$

Тогда я вместе с ЛЛ приходим к уравнению:

$$\frac{da}{dt}=\frac{a_{k}^{3}(0)}{a(t)}\left(\frac{1}{a_k(t)}-\frac{1}{a(t)}\right)$$

Далее ЛЛ предлагает ввести замены, к которым, как я понимаю, стоит относиться чисто формально, только с точки зрения удобства.
1) вводит безразмерную переменную: $x=\frac{a_k(t)}{a_k(0)}$.
Хорошо. Я подставляю в уравнение. Т.к. у меня в числителе уже есть куб $a_k(0)$, то немогу ничего другого придумать, кроме как домножить и поделить на $a^3_k(t)$ получаю

$$\frac{da}{dt}=\frac{a_{k}^{3}(t)}{a(t)x^3}\left(\frac{1}{a_k(t)}-\frac{1}{a(t)}\right)$$

2) вводит новое беразмерное время

$$\tau=3\ln x(t)$$

После пересчёта у меня получается, что

$$dt=\frac{xdt}{3dx}d\tau.$$

3) Ну и в завершении он вводит безразмерную переменную $u=\frac{a(t)}{a_k(t)}$.
После всех этих подстановок у меня получается в одной части $\frac{du}{dt},$ а в другой полная белиберда.
А у него откуда-то берётся аж $\frac{du^3}{dt}$ - куб u под дифференциалом. У меня такого никак неполучается пока. В моих действиях есть что-то неправильное? Или тут просто надо сидеть и игаться с переменными/заменами, чтобы получить уравнение, которое у ЛЛ пронумеровано как (100.9)?

[Munin]

Когда вводится $x=a_k(t)/a_k(0),$ надо просто выразить $a_k(t)=x\,a_k(0),$ и подставить везде, где встречается $a_k(t).$ Точно так же, когда вводится $u=a/a_k(t),$ тоже надо выразить из него $a,$ и подставить ($a_k(t)$ не надо выражать, оно уже выражено через $x$). Производную $d/dt$ надо расписать как производную от сложной функции: $d/dt=(d/d\tau)(d\tau/dx)(dx/dt),$ где $dt/dx$ искать из $\tau=3\ln x(t),$ а $dx/dt$ никак не раскрывать (оно войдёт в переменную $\gamma$). В общем, обычная техника замены переменных же...

[r0ma]

Munin, вот только что сам проделал все эти действия, которые Вы описали. Но только я $dx/dt$ раскрывал, что, конечно же, в итоге вылилось в одно лишнее действие. Если бы не раскрывал было бы чуть короче. Ладно. Спасибо! Работаю дальше по ЛЛ.

-- Вс окт 28, 2012 23:53:25 --

Только вот всё же меня смущают немного его слова "будем измерять время в $a_k^3(0)/(D\sigma)$". Т.е. очевидно, что размерность этогокоэффициента секунда, но неужели можно писать, что $1=a_k^3(0)/(D\sigma)$. Ведь это же эквивалентно утверждению $a_k^3(0)=D\sigma,$ что вводит меня в заблуждение. Ведь реально-то мы же не знаем, что $a_k^3(0)=D\sigma,$ так почему их отношение должно быть равно единице?

[Alex-Yu]

r0ma в сообщении #637138 писал(а):

Ведь реально-то мы же не знаем, что $a_k^3(0)=D\sigma,$ так почему их отношение должно быть равно единице?

Если время измеряется в секундах, то естественно такое равенство не обязательно. Но если подобрть специальные единицы измерения времени, то можно такого равенства добиться. Т.е. просто наносите деления на часах специально так, чтобы именно это и получилось. Фактически тут просто замена переменной t. Но это несколько скрыто, т.к. и старая переменная, и новая обозначается одной буквой. Обозначьте разными, и вопроса вообще не будет.

[Munin]

r0ma
Нет. Размерность этого коэффициента не секунда, а время. И вы переходите к новой единице времени, в которой этот коэффициент численно равен 1. То есть, если находиться в новой системе единиц, то $a^3_k(0)$ будет $=D\sigma$ просто по определению этой новой системы единиц. А в старой-то конечно, это какая-то неединичная величина.

Такой приём используется, чтобы исследовать математическую структуру уравнений, отвлекаясь от толпы размерных коэффициентов, которые иначе пришлось бы таскать за собой по уравнениям, отвлекаться на них, путать при переписывании, и прочее. В Ландау-Лифшице он используется неоднократно (да и в физике вообще), например, в СТО используется система единиц $c=1,$ в квантовой механике $\hbar=1,$ в атомах удобно положить единичными радиус Бора и энергию Ридберга, в квантовой электродинамике - массу электрона, в акустике и аэродинамике - скорость звука. После этого всегда можно вернуться к исходной системе единиц, добавляя выброшенные коэффициенты по размерности, например, в СТО если где-то складываются длины с временами, надо помножить времена на $c,$ чтобы перевести их в длины - или наоборот, помножить длины на $c^{-1}.$

[r0ma]

Alex-Yu,Munin, спасибо! Вообще, я уже работал так. То есть помню клал больцмановскую постоянную равной единице, возврат - везде, где есть Т умножить на k больцмана, с пост. Планка = 1 работал. И с с=1 тоже. Видимо, делал это всё формально не задумываясь. А тут что-то в голову стукнуло. Наверное, задумался В общем, до сути допёр.

[r0ma]

Не пойму как ЛЛ перешёл от

$$\frac{du^3}{d\tau}=\gamma (u-1)-u^3$$

к

$$\frac{du}{d\tau}=-\frac23\left(u-\frac32\right)^2-\frac{\varepsilon^2}{2}.$$

Т.е. он вводит $\gamma=\frac{27}{4}[1-\varepsilon^2]$
Далее я поставяю в уравнение первое

$$3u^2\frac{du}{d\tau}=\frac{27}{4}(u-1-\varepsilon^2u+\varepsilon^2)-u^3$$

Далее я делю на 3u^2. Но делаю уже скорее от незнания как делать дальше. Не знаю как приткнуть условие, что всё это делать надо вблизи $u=u_0=\frac32$ В ряд тут вроде ничего не разложишь... Как тут упростить?

[Munin]

На рис. 34 ошибка, воспроизведённая в новом издании: в последней стрелочке.

[r0ma]

Munin
ага, я это тоже заметил. Хотел об этом попозже написать. В той области ведь производная отрицательна,поэтому и движение д.б. влево.

-- Пн окт 29, 2012 12:24:52 --

С тем объяснением, которое приведено по этим картиночкам, у меня пока тоже не очень гладко. Просто сейчас пытаюсь получить уравнение. Не очень получается.

Точки движутся налево и исчезают - значит размер зародыша становится равным нулю и зародыш перестаёт существовать, так?
Не очень пока ясно, почему при q->0 не может быть выполнен закон сохранеия вещества. Пусть q=0,тогда $\Delta=const$. Я в этом ничего плохого не вижу... А сейчас кажется дошло. Т.е. при q->0 все вещество исчезает, пересыщение тоже становится равным нулю. Но исходное начальное пересыщение нулю быть равным не может. Рассуждения такие, да?

[Munin]

Думаю, в произведении $3u^2\tfrac{du}{d\tau}$ надо заменить $u$ не под дифференциалом на $u_0=3/2,$ и получится $\tfrac{27}{4}\tfrac{du}{d\tau}.$ Справа будет $\tfrac{27}{4}(u-1)(1-\varepsilon^2)-u^3,$ и раскладывая $u=u_0+\Delta u=3/2+\Delta u=3/2+(u-3/2),$ получаем:
$\tfrac{27}{4}\left(\tfrac{1}{2}+\Delta u\right)(1-\varepsilon^2)-\left(\tfrac{3}{2}+\Delta u\right)^3=$
$=\tfrac{27}{4}\left(\tfrac{1}{2}+\Delta u\right)(1-\varepsilon^2)-\left(\tfrac{27}{8}+\tfrac{27}{4}\Delta u+\tfrac{9}{2}\Delta u^2+\Delta u^3\right)\approx\quad[\quad\Delta u^3\mapsto 0\quad]$ (то, что $\Delta u^2$ не исчезает, я подобрал только что вручную)
$\approx\tfrac{27}{4}\left(\tfrac{1}{2}+\Delta u-\tfrac{1}{2}\varepsilon^2-\Delta u\varepsilon^2\right)-\left(\tfrac{27}{8}+\tfrac{27}{4}\Delta u+\tfrac{9}{2}\Delta u^2\right)=$
$=\tfrac{27}{4}\left(-\tfrac{1}{2}\varepsilon^2-\Delta u\varepsilon^2\right)-\left(+\tfrac{9}{2}\Delta u^2\right)=$
$=-\tfrac{27}{4}\left(\tfrac{1}{2}+\Delta u\right)\varepsilon^2-\tfrac{9}{2}\Delta u^2\approx\quad[\quad\left(\tfrac{1}{2}+\Delta u\right)\varepsilon^2\mapsto \tfrac{1}{2}\varepsilon^2\quad]$
$\approx-\tfrac{27}{8}\varepsilon^2-\tfrac{9}{2}\Delta u^2.$

[r0ma]

Munin
спасибо! Вслед за Вами также пришёл к этому уравнению. Но вообще, достаточно неочевидно почему не стоит пренебрегать $\Delta u^2$ по-сравнению, например, с членом $\Delta u.$ Или, например почему пренебрегаем $(27/4) \varepsilon^2\Delta u$ по-сравнению с $(27/8)\varepsilon^2,$ но членом большего порядка малости $\frac92 \Delta u^2$ нет.

[Munin]

Ну господи, всё высших порядков малости пренебрегается, пока не оказывается, что низший порядок сократился. У меня сократился - я удержал следующий по малости член. Остальные всё равно надо отбрасывать.

$\varepsilon^2$ - это величина первого порядка малости, и не смотрите, что там сверху квадрат нарисован. Это, по сути, $C(\gamma-\gamma_0).$ Членом $\varepsilon^2\,\Delta u$ просто так, конечно, пренебрегать нельзя, но он поглощается рядом стоящим членом $\varepsilon^2\cdot 1.$ С малыми $\varepsilon^2$ и $\Delta u$ надо работать по отдельности, поскольку они независимые параметры: мы на плоскости можем двигаться к нулю по разным траекториям, заранее нельзя сказать по какой. Вот потом, если траекторию вычислить, то будет найдена зависимость между этими двумя малыми, и их можно будет сравнивать, и пренебрегать в некотором едином порядке высшими степенями $\varepsilon^\alpha\,\Delta u^\beta.$

К моменту чтения X тома Ландау-Лифшица это всё должно быть уже очевидным спинно-мозговым рефлексом, мне всегда казалось :-)