Эквивалентность метрик

[MaximDudnik]

Добрый день! Столкнулся со следующим упражнением из элементарной топологии и не совсем понимаю суть вопроса:
Расстояние Хаусдорфа для любых двух ограниченных подмножеств $A$ и $B$ метрического пространства $(X,\rho)$ определяется следующим образом: $d_\rho(A,B)=\max\{\sup\{\pho(a,B)\},\sup\{\rho(A,b)\}\}$, где $\rho(a,B)=\inf\{\rho(a,b)|b \in B\}$
Кроме того для любых двух ограниченных многоугольников $A$, $B$ на плоскости расстояние можно определить следующим образом: $d_\Delta(A,B)=S(A)+S(B)-S(A\cap B)$, где $S$-площадь.
Необходимо доказать эквивалентность метрики Хаусдорфа ( то, что расстояние Хаусдорфа-метрика, понятно) и метрики $d_\Delta$ на множестве выпуклых многоугольников на плоскости. Правильно ли я понимаю, что для этого нам необходимо доказать , что каждый выпуклый многоугольник, находящийся на заданном расстоянии от , скажем, многоугольника A по метрике $d_\Delta$ т.е. является элементом множества $\{B\subset R^2:d_\Delta(B,A)<r\},$,является центром какого-либо шара по метрике Хаусдорфа, причем последний содержится в первом по $d_\Delta$?

[alcoholist]

MaximDudnik в сообщении #636493 писал(а):

Правильно ли я понимаю

кажется, нет... Эквивалентность метрик это существование положительных констант $c$ и $C$, для которых верно

$$ c\cdot d_H(A,B)\le d_{\Delta}(A,B)\le C\cdot d_H(A,B) $$

это не то же самое, что совпадение метрических топологий

[xmaister]

alcoholist, а разве из совпадения метрических топологий не следует эквивалентность метрик?

[Munin]

Возьмём прообраз $\mathbb{R}$ и образ $(-\pi/2,\pi/2)$ арктангенса. Метрики неэквивалентны, метрические топологии - ?