2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ
Сообщение27.10.2012, 15:55 
Аватара пользователя
Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ "Иррациональные уравнения и неравенства" 2007 года, Рождественский В.В.:
"Замечание 5
Тождественный переход $\sqrt{f(x)}\cdot \sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)\cdot g(x)}$, выполняемый слева направо, может расширить область определения задачи, из-за чего могут возникнуть посторонние корни. После такой замены следует восстановить ограничения $f(x)\geqslant 0,\;\; g(x)\geqslant 0$, имевшие место в исходной задаче.
Однако в некоторых случая этого делать не надо. Например, левая и правая части тождества $\sqrt{x-a}\cdot \sqrt{b-x}=\sqrt{(x-a)(b-x)}$, имеют одинаковые области определения.
Здесь слева $\begin{cases}x\geqslant a\\
x\leqslant b
\end{cases}$, а справа $(x-a)(b-x)\geqslant 0$, что то же самое."
Но ведь это не правильно!
Правильно так:
$(x-a)(b-x)\geqslant 0 \Leftrightarrow \begin{cases} 
\begin{cases} 
x\geqslant a\\
x\leqslant b
\end{cases}\\
\begin{cases} 
x\leqslant a\\
x\geqslant b
\end{cases}
\end{cases}$ (Основная скобка должна быть прямоугольной.)
Я права?

 
 
 
 Re: Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ
Сообщение27.10.2012, 15:58 
Аватара пользователя
Возьмите $a=1$, $b=2$ и проверьте. А потом $a=2$, $b=1$.

 
 
 
 Re: Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ
Сообщение27.10.2012, 15:58 
посмотрите случаи $a>b$ и наоборот

 
 
 
 Re: Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ
Сообщение27.10.2012, 16:09 
Аватара пользователя
larkova_alina в сообщении #636486 писал(а):
Однако в некоторых случая этого делать не надо.
Это надо делать во всех случаях. Ведь чтобы определить, является ли случай таким, для которого это делать не надо, фактически приходится проверять исходные ограничения!

 
 
 
 Re: Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ
Сообщение27.10.2012, 16:14 
Аватара пользователя
mihailm, ог.
Пусть сначала $a\geqslant b.$
$(x-a)(b-x)\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2-(a+b)x+ab\leqslant 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x\leqslant a\\
x\geqslant b\end{cases}.$
Теперь пусть $a<b.$
Аналогично получаем $\begin{cases} x\geqslant a\\
x\leqslant b\end{cases}.$
Но это как раз подтверждает мои слова.
Другими словами, область определения выражения $\sqrt{(x-a)(b-x)}$ равна $[\min(a, b);\max(a,b)]$. А это не то же самое что $\begin{cases}x\geqslant a\\
x\leqslant b\end{cases}.$

 
 
 
 Re: Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ
Сообщение27.10.2012, 16:17 
Аватара пользователя
larkova_alina в сообщении #636486 писал(а):
Например, левая и правая части тождества $\sqrt{x-a}\cdot \sqrt{b-x}=\sqrt{(x-a)(b-x)}$, имеют одинаковые области определения.
Разные области определения при $b <a$

 
 
 
 Re: Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ
Сообщение27.10.2012, 16:22 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #636497 писал(а):
larkova_alina в сообщении #636486 писал(а):
Например, левая и правая части тождества $\sqrt{x-a}\cdot \sqrt{b-x}=\sqrt{(x-a)(b-x)}$, имеют одинаковые области определения.
Разные области определения при $b <a$

Наоборот, при $a> b.$

 
 
 
 Re: Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ
Сообщение27.10.2012, 17:47 
Аватара пользователя
TOTAL, ой, Вы правы. То же что и Вы написала.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group