Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ

[larkova_alina]

Цитата из методической разработки малого мех-мата МГУ "Иррациональные уравнения и неравенства" 2007 года, Рождественский В.В.:
"Замечание 5
Тождественный переход $\sqrt{f(x)}\cdot \sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)\cdot g(x)}$, выполняемый слева направо, может расширить область определения задачи, из-за чего могут возникнуть посторонние корни. После такой замены следует восстановить ограничения $f(x)\geqslant 0,\;\; g(x)\geqslant 0$, имевшие место в исходной задаче.
Однако в некоторых случая этого делать не надо. Например, левая и правая части тождества $\sqrt{x-a}\cdot \sqrt{b-x}=\sqrt{(x-a)(b-x)}$, имеют одинаковые области определения.
Здесь слева $\begin{cases}x\geqslant a\\ x\leqslant b \end{cases}$, а справа $(x-a)(b-x)\geqslant 0$, что то же самое."
Но ведь это не правильно!
Правильно так:
$(x-a)(b-x)\geqslant 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{cases} x\geqslant a\\ x\leqslant b \end{cases}\\ \begin{cases} x\leqslant a\\ x\geqslant b \end{cases} \end{cases}$ (Основная скобка должна быть прямоугольной.)
Я права?

[--mS--]

Возьмите $a=1$, $b=2$ и проверьте. А потом $a=2$, $b=1$.

[mihailm]

посмотрите случаи $a>b$ и наоборот

[TOTAL]

larkova_alina в сообщении #636486 писал(а):

Однако в некоторых случая этого делать не надо.

Это надо делать во всех случаях. Ведь чтобы определить, является ли случай таким, для которого это делать не надо, фактически приходится проверять исходные ограничения!

[larkova_alina]

mihailm, ог.
Пусть сначала $a\geqslant b.$
$(x-a)(b-x)\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2-(a+b)x+ab\leqslant 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x\leqslant a\\ x\geqslant b\end{cases}.$
Теперь пусть $a<b.$
Аналогично получаем $\begin{cases} x\geqslant a\\ x\leqslant b\end{cases}.$
Но это как раз подтверждает мои слова.
Другими словами, область определения выражения $\sqrt{(x-a)(b-x)}$ равна $[\min(a, b);\max(a,b)]$. А это не то же самое что $\begin{cases}x\geqslant a\\ x\leqslant b\end{cases}.$

[TOTAL]

larkova_alina в сообщении #636486 писал(а):

Например, левая и правая части тождества $\sqrt{x-a}\cdot \sqrt{b-x}=\sqrt{(x-a)(b-x)}$, имеют одинаковые области определения.

Разные области определения при $b <a$

[larkova_alina]

TOTAL в сообщении #636497 писал(а):

larkova_alina в сообщении #636486 писал(а):

Например, левая и правая части тождества $\sqrt{x-a}\cdot \sqrt{b-x}=\sqrt{(x-a)(b-x)}$, имеют одинаковые области определения.

Разные области определения при $b <a$

Наоборот, при $a> b.$

[larkova_alina]

TOTAL, ой, Вы правы. То же что и Вы написала.