2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 13:58 


03/09/11
275
Уважаемые участники форума, есть несколько вопросов по задачам, помогите, пожалуйста, с ними...

1. Найдите $u_t'$ в точке $(s,t,u,v,w)=(0;1;2;3;4)$, если

$\begin{cases}
st+uv+w=10\\
svw-tu=-2\\
su+tw+v^2=13
\end{cases}$

Неопределенность в условии можете использовать по cвоему усмотрению.

Что-то мне какой-то странной показалась эта задача. Тут видимо нужно пользоваться формулой для производной неявной функции?
Вопрос эквивалентен этому - сходится ли ряд из производных?

Если $F(s,t,u,v,w)=0$, то $u'_t=-\dfrac{F'_t}{F'_u}$

Но к чему три уравнения?

2. Дифференцируема ли функция?

$f(t)=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{t}{n^{1,5+\varepsilon}+n\cos t(n+1)}$

Тут нужно почленно брать производные или нужно проверить сходимость ряда сначала или с чего начать решение? Мне кажется, что ряд будет сходится только при $\varepsilon>-0,5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 21:25 


03/09/11
275
Еще есть условие во второй задаче, забыл написать его t\in(\pi;2\pi)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon >0

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 21:34 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
samuil в сообщении #636441 писал(а):
Что-то мне какой-то странной показалась эта задача


Действительно. И ещё эта оговорка, что неопределённость в условии можно использовать по своему усмотрению. Предлагаю такой вариант решения: сложить все три уравнения системы. И к полученной общей неявной функции применить формулу для производной неявной функции, которую Вы написали. После применения получается выражение, где присутствуют все переменные. И можно спокойненько подставить координаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
(1 задача.) Переменных пять. Уравнений три. Значит, они задают (в общем случае) подмножество размерности $5-3=2.$ То есть, при фиксированной переменной $t$ вы имеете в пространстве остальных четырёх переменных не точку, с конкретными значениями $(s,u,v,w),$ а линию, и по мере изменения $t$ эта линия как-то движется. Определённый ответ на задачу возможен, только если в заданной точке $(s,u,v,w)$ при заданном значении $t$ эта линия проходит перпендикулярно оси координаты $u.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
samuil в сообщении #636441 писал(а):
1. Найдите $u_t'$ в точке $(s,t,u,v,w)=(0;1;2;3;4)$, если

$\begin{cases}st+uv+w=10\\ svw-tu=-2\\ su+tw+v^2=13\end{cases}$

Неопределенность в условии можете использовать по своему усмотрению.
Здесь речь идёт о трёх неявных функциях двух независимых переменных, заданных системой трёх уравнений с пятью переменными. Произвол состоит в том, какие две из пяти переменных взять в качестве независимых. Судя по тому, что требуется найти $u'_t=\frac{\partial u}{\partial t}$, переменная $t$ должна быть одной из двух независимых, а $u$ - одной из трёх функций.

Способ решения состоит в том, чтобы вычислить дифференциалы обеих частей каждого из заданных уравнений, что даст систему трёх линейных уравнений для пяти дифференциалов. Дифференциалы трёх переменных, выбранных за функции, выражаются из этой системы через дифференциалы независимых переменных. Зная дифференциал, можно найти все частные производные. Не надо удивляться, если окажется, что $u'_t$ выражается через все пять переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 22:37 


03/09/11
275
Спасибо. Пусть будет так $u(t,s),v(t,s),w(t,s)$

$\begin{cases}
st+uv+w=10\\
svw-tu=-2\\
su+tw+v^2=13
\end{cases}$

$\begin{cases}
sdt+tds+udv+vdu+dw=0\\
svdw+vwds+swdv-tdu-udt=0\\
sdu+uds+wdt+tdw+2vdv=0
\end{cases}$

$\begin{cases}
sdt+tds+u(v'_sds+v'_tdt)+v(u'_sds+u'_tdt)+(w'_sds+w'_tdt)=0\\
sv(w'_sds+w'_tdt)+vwds+sw(v'_sds+v'_tdt)-t(u'_sds+u'_tdt)-udt=0\\
s(u'_sds+u'_tdt)+uds+wdt+t(w'_sds+w'_tdt)+2v(v'_sds+v'_tdt)=0
\end{cases}$

Получается что-то в таком духе..Верно? А как дальше, что исключать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
Вы напрасно сразу заменили $du$, $dv$, $dw$ их выражениями, это только усложнит вычисления.
А найти из системы, естественно, надо $du$, $dv$, $dw$. Точнее, для Вашей задачи хватит одного $du$, но $dv$ и $dw$ надо исключить. А уж после этого вспомните, как выражается $du$ через частные производные.

-- Вс окт 28, 2012 00:20:04 --

Перенесите члены с $ds$ и $dt$ в правую часть. А потом найти $du$ можно будет хоть по формулам Крамера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 23:24 


03/09/11
275
Ок, допустим я нашел $du=F(u,v,w,dt,ds)$, потом $u'_tdt+u'_sds=F(u,v,w,dt,ds)$

А как дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
Дык, сравниваете левую и правую части...

Вы, главное, найдите $du$, а там увидите.

-- Вс окт 28, 2012 00:36:28 --

samuil в сообщении #636698 писал(а):
$du=F(u,v,w,dt,ds)$
Кстати, не обратил внимания сразу. Будет $du=F(s,t,u,v,w,dt,ds)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 23:45 


03/09/11
275
Там будет что-то жуткое, хотелось бы идею понять, метод Крамера знаю, но тут будет что-то очень громоздкое.

А может можно было взять от каждого уравнения производную по $t$, а потом выразить $u'(t)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость
Сообщение27.10.2012, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
Вы численные значения переменных подставьте, раз Вам производная только в одной точке требуется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group