Дифференцируемость

[samuil]

Уважаемые участники форума, есть несколько вопросов по задачам, помогите, пожалуйста, с ними...

1. Найдите $u_t'$ в точке $(s,t,u,v,w)=(0;1;2;3;4)$, если

$\begin{cases} st+uv+w=10\\ svw-tu=-2\\ su+tw+v^2=13 \end{cases}$

Неопределенность в условии можете использовать по cвоему усмотрению.

Что-то мне какой-то странной показалась эта задача. Тут видимо нужно пользоваться формулой для производной неявной функции?
Вопрос эквивалентен этому - сходится ли ряд из производных?

Если $F(s,t,u,v,w)=0$, то $u'_t=-\dfrac{F'_t}{F'_u}$

Но к чему три уравнения?

2. Дифференцируема ли функция?

$f(t)=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{t}{n^{1,5+\varepsilon}+n\cos t(n+1)}$

Тут нужно почленно брать производные или нужно проверить сходимость ряда сначала или с чего начать решение? Мне кажется, что ряд будет сходится только при $\varepsilon>-0,5$

[samuil]

Еще есть условие во второй задаче, забыл написать его t\in(\pi;2\pi)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon >0

[Shtorm]

samuil в сообщении #636441 писал(а):

Что-то мне какой-то странной показалась эта задача

Действительно. И ещё эта оговорка, что неопределённость в условии можно использовать по своему усмотрению. Предлагаю такой вариант решения: сложить все три уравнения системы. И к полученной общей неявной функции применить формулу для производной неявной функции, которую Вы написали. После применения получается выражение, где присутствуют все переменные. И можно спокойненько подставить координаты.

[Munin]

(1 задача.) Переменных пять. Уравнений три. Значит, они задают (в общем случае) подмножество размерности $5-3=2.$ То есть, при фиксированной переменной $t$ вы имеете в пространстве остальных четырёх переменных не точку, с конкретными значениями $(s,u,v,w),$ а линию, и по мере изменения $t$ эта линия как-то движется. Определённый ответ на задачу возможен, только если в заданной точке $(s,u,v,w)$ при заданном значении $t$ эта линия проходит перпендикулярно оси координаты $u.$

[Someone]

samuil в сообщении #636441 писал(а):

1. Найдите $u_t'$ в точке $(s,t,u,v,w)=(0;1;2;3;4)$, если

$\begin{cases}st+uv+w=10\\ svw-tu=-2\\ su+tw+v^2=13\end{cases}$

Неопределенность в условии можете использовать по своему усмотрению.

Здесь речь идёт о трёх неявных функциях двух независимых переменных, заданных системой трёх уравнений с пятью переменными. Произвол состоит в том, какие две из пяти переменных взять в качестве независимых. Судя по тому, что требуется найти $u'_t=\frac{\partial u}{\partial t}$, переменная $t$ должна быть одной из двух независимых, а $u$ - одной из трёх функций.

Способ решения состоит в том, чтобы вычислить дифференциалы обеих частей каждого из заданных уравнений, что даст систему трёх линейных уравнений для пяти дифференциалов. Дифференциалы трёх переменных, выбранных за функции, выражаются из этой системы через дифференциалы независимых переменных. Зная дифференциал, можно найти все частные производные. Не надо удивляться, если окажется, что $u'_t$ выражается через все пять переменных.

[samuil]

Спасибо. Пусть будет так $u(t,s),v(t,s),w(t,s)$

$\begin{cases} st+uv+w=10\\ svw-tu=-2\\ su+tw+v^2=13 \end{cases}$

$\begin{cases} sdt+tds+udv+vdu+dw=0\\ svdw+vwds+swdv-tdu-udt=0\\ sdu+uds+wdt+tdw+2vdv=0 \end{cases}$

$\begin{cases} sdt+tds+u(v'_sds+v'_tdt)+v(u'_sds+u'_tdt)+(w'_sds+w'_tdt)=0\\ sv(w'_sds+w'_tdt)+vwds+sw(v'_sds+v'_tdt)-t(u'_sds+u'_tdt)-udt=0\\ s(u'_sds+u'_tdt)+uds+wdt+t(w'_sds+w'_tdt)+2v(v'_sds+v'_tdt)=0 \end{cases}$

Получается что-то в таком духе..Верно? А как дальше, что исключать?

[Someone]

Вы напрасно сразу заменили $du$, $dv$, $dw$ их выражениями, это только усложнит вычисления.
А найти из системы, естественно, надо $du$, $dv$, $dw$. Точнее, для Вашей задачи хватит одного $du$, но $dv$ и $dw$ надо исключить. А уж после этого вспомните, как выражается $du$ через частные производные.

-- Вс окт 28, 2012 00:20:04 --

Перенесите члены с $ds$ и $dt$ в правую часть. А потом найти $du$ можно будет хоть по формулам Крамера.

[samuil]

Ок, допустим я нашел $du=F(u,v,w,dt,ds)$, потом $u'_tdt+u'_sds=F(u,v,w,dt,ds)$

А как дальше?

[Someone]

Дык, сравниваете левую и правую части...

Вы, главное, найдите $du$, а там увидите.

-- Вс окт 28, 2012 00:36:28 --

samuil в сообщении #636698 писал(а):

$du=F(u,v,w,dt,ds)$

Кстати, не обратил внимания сразу. Будет $du=F(s,t,u,v,w,dt,ds)$.

[samuil]

Там будет что-то жуткое, хотелось бы идею понять, метод Крамера знаю, но тут будет что-то очень громоздкое.

А может можно было взять от каждого уравнения производную по $t$, а потом выразить $u'(t)$?

[Someone]

Вы численные значения переменных подставьте, раз Вам производная только в одной точке требуется.