Иррациональное уравнение.

[larkova_alina]

1)Скажите, проканает ли такое решение на олимпиаде и на вступительном экзамене на Мех-Мат, или оно недостаточно строго?

$x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}=-2+\sqrt{4+4x-2x^2} \Leftrightarrow $
$x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}=-2+\sqrt{4-2(x^2-2x)} \Leftrightarrow$ (делаем замену $t=x^2-2x$)
$ t+ \sqrt{t}-\sqrt{4-2t}=-2.$ Поскольку в левой части уравнения стоит строго возрастающая функция (как сумма строго возрастающих) на всей своей области определения, то это уравнение имеет не более 1-го корня. Очевидно, что $t=0.$
$\Leftrightarrow x^2-2x=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=0\\ x=2 \end{cases}$. (Тут вместо фигурной скобки должна быть прямоугольная, которая означает объединение, а не пересечение как фигурная. Однако, я так и не смогла найти как поставить ее.)

2) Проверьте пожалуйста.
$\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}+\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}=2 \Leftrightarrow $
$\begin{cases} 2x+2\sqrt{2x-1}+2x-2\sqrt{2x-1}+2\sqrt{(2x+2\sqrt{2x-1})(2x-2\sqrt{2x-1})}=4\\ 2x+2\sqrt{2x-1}\geqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases} \sqrt{4x^2-4(2x-1)}=2-2x\\ \sqrt{2x-1}\geqslant -x \end{cases} \Leftrightarrow$$\begin{cases} \sqrt{2x-1}\geqslant -x\\ 2-2x \geqslant 0\\ 4x^2-8x+4=(2-2x)^2 \end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases} \sqrt{2x-1}\geqslant -x\\ 1 \geqslant x\\ 4x^2-8x+4=4x^2-8x+4 \end{cases} \Leftrightarrow$ (уравнение в этой системе является тождеством, поэтому его просто отбрасываем с сохранением его области определения.)
$\begin{cases} \sqrt{2x-1}\geqslant -x\\ 1 \geqslant x \end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases} x \leqslant 1 \\ \begin{cases} \begin{cases} -x \geqslant 0\\ 2x-1\geqslant (-x)^2 \end{cases}\\ \begin{cases} -x < 0\\ 2x-1\geqslant 0 \end{cases} \end{cases} \end{cases} \Leftrightarrow$ (Здесь фигурная скобка второго уровня, которая объединяет две маленьких системки должна быть прямоугольной.)
$\begin{cases} x \leqslant 1\\ x\geqslant \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x\in [\frac{1}{2}; 1].$

[bot]

Олимпиада ещё идёт?

[larkova_alina]

bot в сообщении #636336 писал(а):

Олимпиада ещё идёт?

Да нет, я не жульничаю.
Это примеры из методической разработки малого мех-мата МГУ "Иррациональные уравнения и неравенства". 2007 года. Автор: Рождественский В.В.
Могу скинуть ее Вам, если не верите.

[bot]

Ну вот Вы дошли до того, что уравнению могут удовлетворять только $x=0$ и $x=2$. Остальное-то зачем? Достаточно их проверить прямой подстановкой в уравнение, ведь других решений быть не может.

[larkova_alina]

bot в сообщении #636342 писал(а):

Ну вот Вы дошли до того, что уравнению могут удовлетворять только $x=0$ и $x=2$. Остальное-то зачем? Достаточно их проверить прямой подстановкой в уравнение, ведь других решений быть не может.

Что остальное? Я как нашла эти два решения так и остановилась на этом. Дальше под пунктом 2) идет уже другой пример. И, кстати, проверка не нужна, так как все переходы у меня равносильны.

[bot]

Прошу прощения - я и не заметил, что это уже другая задача.
А замену не пробовали? Ну, к примеру, корешок, какой-нибудь заменить?

[larkova_alina]

bot в сообщении #636344 писал(а):

Прошу прощения - я и не заметил, что это уже другая задача.
А замену не пробовали? Ну, к примеру, корешок, какой-нибудь заменить?

Если вы про второй пример, то я думала над этим. Однако ни одна замена не прокатывает. Мне нужно знать, не упустила ли я чего в каждом равносильном преобразовании.

[Someone]

larkova_alina в сообщении #636346 писал(а):

Если вы про второй пример, то я думала над этим. Однако ни одна замена не прокатывает.

$2x+2\sqrt{2x-1}=(2x-1)+2\sqrt{2x-1}+1=\ldots$
$2x-2\sqrt{2x-1}=(2x-1)-2\sqrt{2x-1}+1=\ldots$

[larkova_alina]

Someone, понятненько. Но, думаю, такой путь решения по трудоемкости примерно такой же.

[bot]

А Вы попробуйте - думаю, понравится.

[larkova_alina]

bot, хорошо.
Замена: $\sqrt{2x-1}=t\geqslant 0.$
$\begin{cases}\sqrt{t^2+2t+1}+\sqrt{t^2+2t+1}=2\\ t\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow$$\begin{cases}\sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{(t-1)^2}=2\\ t\geqslant 0\end{cases} \Leftrightarrow$$\begin{cases}|t+1|+|t-1|=2\\ t\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -1\leqslant t \leqslant 1\\ t\geqslant 0\end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases} \sqrt{2x-1}\geqslant 0\\ \sqrt{2x-1}\leqslant 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\geqslant \frac{1}{2}\\ x\leqslant 1. \end{cases}$
Понравилось =)

[bot]

В фигуристо-квадратном исполнении даже простое решение выглядит устрашающе. Кому эти скобки нужны - Марьванна заставляет? Один раз сказали, что $t\geqslant 0$ и хватит будет, нашли диапазон $0\leqslant t\leqslant 1$ и по связи $x=\dfrac{1+t^2}{2}$ написали диапазон $\dfrac12\leqslant x\leqslant 1$.

[larkova_alina]

bot, нет, это я сама себя заставляю. Иначе можно что-нибудь забыть или потерять, а так все всегда находится в одной системке и перед глазами. И еще это облегчает отслеживание равносильности преобразований, а то бац, и вместо равносильности получится следствие и пиши пропало =)