Будут ли отображения гомеоморфизмами и почему?

[integral2009]

Доброе время суток. Помогите, пожалуйста, разобраться. Будут ли отображения гомеоморфизмами и почему?

1) Почему если полуинтервал $[0;1)$ намотать на круг, то это отображение не будет гомеоморфизмом?

2) Отображения одной буквы русского алфавита в другую?

3) $[0;1]\to(0;1)$

4) $[0;1)\to (0;1)$

5) $[0;1)\to (0;1]$

Понимаю, что отображение $f:X\to Y$ - гомеоморфизм, если:

а) $f$ - непрерывна

б) $f$ - биекция

в) $f^{-1}$ - непрерывна

То есть нужно проверить эти условия. Как мне кажется, биекции установить несложно, но вот как доказать непрерывность?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #636277 писал(а):

1) Почему если полуинтервал $[0;1)$ намотать на круг, то это отображение не будет гомеоморфизмом?

Выкалывайте внутреннюю $a$ точку полуинтервала. Получите не связное пространство, в то время как $\mathbb{S}^1\setminus f\{a\}$-связно, Где $f:[0,1)\to \mathbb{S}^1$- Гомеоморфзим.

integral2009 в сообщении #636277 писал(а):

2) Отображения одной буквы русского алфавита в другую?

Предлагает все перебрать? Например ясно, что $\text{О}$ не гомеоморфно $\text{Г}$. Я кстати, имел ввиду отображение на другую, а не в другую.
3) Испольуейте компактность отрезка
4) Что будет если из $(0,1)$ выколоть образ точки $0$?

-- 27.10.2012, 00:10 --

5)Рассмотрите $f:[0,1)\to (0,1]$, такое что $x\mapsto 1-x$

[integral2009]

xmaister в сообщении #636279 писал(а):

Выкалывайте внутреннюю $a$ точку полуинтервала. Получите не связное пространство, в то время как $\mathbb{S}^1\setminus f\{a\}$-связно, Где $f:[0,1)\to \mathbb{S}^1$- Гомеоморфзим.

Спасибо.
А можно ли как-то без связности, а чисто из определения?

-- Пт окт 26, 2012 23:25:25 --

xmaister в сообщении #636279 писал(а):

Я кстати, имел ввиду отображение на другую, а не в другую.

А есть ли разница, если нам все равно нужно попробовать доказать или опровергнуть биективность...?

Вообще хочется прямо из определения гомеоморфизма доказать=)

[xmaister]

Ну не знаю, это вроде как и есть по определению . Связность же топологиечский инвариант. Если хотите по хардкору, то можете погуглить и найти как считается группа гомологий $H_0(\mathbb{S}^1)$ и нулевая группа гомологий отрезка.

-- 27.10.2012, 00:31 --

integral2009 в сообщении #636281 писал(а):

А есть ли разница, если нам все равно нужно попробовать доказать или опровергнуть биективность...?

Вообще хочется прямо из определения гомеоморфизма доказать=)

Прямо из определния, это значит не пользоваться никакими топологическими инвариантами?

[integral2009]

Ок, хорошо, давайте воспользуемся топологическими инвариантами, только вот я не пойму -- почему $\mathbb{S}^1\setminus f\{a\}$ связно? Ведь там будет еще одна выколотая точка...Ведь если мы выколем $a$ на полуинтервале, то когда намотаем на круг (наверное, лучше сказать -- на окружность), то у нас будет уже две точки выколоты на получившимся образе, не?

-- Сб окт 27, 2012 00:43:03 --

xmaister в сообщении #636279 писал(а):

3) Испольуейте компактность отрезка
4) Что будет если из $(0,1)$ выколоть образ точки $0$?

3) Использовать то, что образ компакта -- компакт?

4) Вы имеете ввиду при обратном отображении? Ведь отображение $(0;1)\to [0;1)$ из нуля не определено. Или вы имеете ввиду рассмотреть отображение $(0;1)\to (0;1)$?

-- Сб окт 27, 2012 00:44:51 --

xmaister в сообщении #636279 писал(а):

5)Рассмотрите $f:[0,1)\to (0,1]$, такое что $x\mapsto 1-x$

О, точно, это точно гомеоморфизм, все нужные свойства выполняются!

[xmaister]

integral2009 в сообщении #636291 писал(а):

3) Использовать то, что образ компакта -- компакт?

Да, непрерывный образ компакта- компакт.

integral2009 в сообщении #636291 писал(а):

Вы имеете ввиду при обратном отображении?

Ну, можно и так с казать. Я полагал, что существует гомеоморфизм $f:[0,1)\to (0,1)$. Соответственно $f(0)\in (0,1)$.

-- 27.10.2012, 06:52 --

integral2009 в сообщении #636291 писал(а):

почему $\mathbb{S}^1\setminus f\{a\}$ связно

Потому что $\mathbb{S}^1\setminus f(a)$ Гомеоморфно $\mathbb{R}$. Действительно, очевидно, что поворот сферы вокруг центра- гомеоморфизм. Рассмотрим $\mathbb{S}^1\setminus\{(0,1)\}$ и положим, что $f:\mathbb{S}^1\setminus\{(0,1)\}\to\mathbb{R}$- стереографическая проекция, т.е. из точки $(0,1)$ проведём луч, пересекающие сферу в точке $x$ и, соотвественно, прямую в точке $f(x)$. Настряпаем таких лучей, чтобы через каждую точку сферы проходил 1 луч. Проверку того, что это гомеоморфизм Вам оставлю .