предельные точки на окружности

[goganchic]

Что-то простая задачка из учебника Зорича ввела меня в ступор: на окружности отмечаются точки, получающиеся из некоторой фиксированной ее точки поворотами окружности на всевозможные углы $n \in \mathbb{N}$ радиан. Укажите все предельные точки построенного множества.

Как я понимаю - предельной будет точка, которая содержит бесконечное количество точек из заданного множества в любой ее окрестности. Поскольку вся окружность это 2\pi$ радиан, а \pi$ иррационально, то что-то мне подсказывает что все точки здесь будут предельными, но может быть и нет.

Подскажите пожалуйста, куда копать?

[TOTAL]

goganchic в сообщении #636238 писал(а):

Поскольку вся окружность это 2\pi$ радиан, а \pi$ иррационально, то что-то мне подсказывает что все точки здесь будут предельными, но может быть и нет.

Подскажите пожалуйста, куда копать?

Докажите, что все точки предельные. Или укажите точку, не являющуюся предельной.

[goganchic]

TOTAL в сообщении #636239 писал(а):

goganchic в сообщении #636238 писал(а):

Поскольку вся окружность это 2\pi$ радиан, а \pi$ иррационально, то что-то мне подсказывает что все точки здесь будут предельными, но может быть и нет.

Подскажите пожалуйста, куда копать?

Докажите, что все точки предельные. Или укажите точку, не являющуюся предельной.

да, это понятно, но нельзя ли больше конкретики? :)

[cool.phenon]

Есть одно утверждение очень похожее на ваше. Это теорема Кронекера (без Капелли). Звучит так : последовательность ${{a}_{n}}=\left\{ n\alpha \right\};n\in \mathbb{N}$, где $\alpha$ - не соизмеримое с $\pi$ иррациональное число, всюду плотна на $\left[ 0;1 \right]$