Подъём расслоений

[Mysterious Light]

Помогите, пожалуйста, разобраться с этой темой.

У всякого топоса существует расслоенное произведение расслоений с базой $I$. Утверждаю, что для любого элемента соответствующие слои образуют декартов квадрат в исходной категории (собственно, вопрос в том, как это доказать, если, конечно, это справедливо не только в $Set$).

Диаграмма расслоенного произведения $X=A \times\limits_{C} B$ расслоений:
$\xymatrix{ D \ar[rrd] \ar[rdd] \ar@{-->}[rd]^{\textrm{!}} && \\ & X \ar[d] \ar[r] & A \ar[d] \\ & B \ar[r] & C \ar[r] & I }$

Диаграмма обратного образа:

$$\xymatrix{ C_i \ar@{>->}[r] \ar[d]_{\textrm{!}} & C \ar[d] \\ 1 \ar@{>->}[r]_{i} & I }$$

Пусть $i$ — некоторый элемент объекта $I$, $i : 1\to I$. Пусть $С_i,A_i,B_i,X_i$ — прообразы соответствующих объектов $C,A,B,X$ относительно элемента $i$. Так как подъём (прообраз) монострелки $1\to\cdot$ есть монострелка, определённые объекты являются подобъектами: $C_i \subset C$, например. По определению подобъекта/мономорфизма для любой стрелки $a : A\to C$ существует и единственна стрелка $a' : A\to C_i$. Таким образом можно построить следующую диаграмму:

$$\xymatrix{ X_i \ar@{>->}[r] & X \ar[dd] \ar[rr] && A_i \ar@{>->}[d] & \\ & && A \ar[d] & \\ & B_i \ar@{>->}[r] & B \ar[r] & C_i \ar@{>->}[r] \ar[d] & C \ar[d] \\ &&& 1 \ar[r] & I }$$

Опуская всё лишнее и вводя $D$, получаем диаграмму

$$\xymatrix{ D \ar[rrd] \ar[ddr] \ar@{-->}[rd] & & \\ & X_i \ar[r] \ar[d] & A_i \ar[d] \\ & B_i \ar[r] & C_i }$$

Стрелка $D \to X_i$ существует по построению (с использованием определения мономорфизма). Будет ли она единственна?

Предполагаю, что противное предположение приведет к противоречию с первой диаграммой. Тем не менее очень смущает тот факт, что та диаграмма писалась для произвольного $i$, которое вообще туда не входит явно, а последняя — для конкретного.

P.S. первая диаграмма почему-то не выровнялась по центру.