Помогите- задача оптики

[motovanya]

каким должно быть показатель преломления среды чтобы коэффициент отражения естественного света имел минимум при угле падения между 0 и 90 градусов.

[Munin]

Задача на анализ формул Френеля.

[motovanya]

Решить эту задачу не так просто, а сложнее. Общая формула Френеля достаточно сложна. Продифференцирован по коэффициент приломления не получается.

[Munin]

Что именно у вас не получается? Покажите ваши выкладки.

[motovanya]

По формуле Френеля:\\
$R=(\frac{\sin(\alpha-\beta)}{sin(\apha+\beta)})^2+(\frac{\tg(\alpha-\beta)}{tg(\alpha+\beta)})^2$(1)
$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$
$\beta=\arcsin(\frac{\sin\alpha}{n})$
Поставить в (1) и продифференцирован по угол $\alpha$. Нужно найти n так, чтобы (1) имеет минимум в $[\alpha;\beta]$. У меня получится сложно уравнение. У вас другой подход решить?

[ewert]

Да, там эффект довольно тонкий (производные для синусов и для тангенсов в первом приближении сокращаются). Но всё-таки не так уж и до безумия всё сложно: если $\sin\alpha=n\sin\beta$ и, соответственно, $\alpha'(\beta)=n\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}$, то в конце концов

$R'_{\beta}=\dfrac{4\sin(\alpha-\beta)\,\tg\alpha}{\sin^3(\alpha+\beta)}(\sin^2\alpha-\sin^2\beta)\cdot\left(1-\dfrac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos^3(\alpha-\beta)}\right).$

Надо, чтобы меняла знак самая последняя скобка (т.к. все остальное в совокупности откровенно неотрицательно). Конечно, явно решить неравенство $\cos(\alpha+\beta)>\cos^3(\alpha-\beta)$ вряд ли удастся. Но от Вас ведь и не требуют находить локальный минимум -- надо лишь определить область значений $n$, в которой этот минимум существует. Для этого нужно, чтобы производная в окрестности нуля (т.е. вблизи вертикали) была отрицательной; а это значит, что неравенство достаточно решать по первому приближению:

$1-\dfrac{(\alpha+\beta)^2}{2}>1-3\dfrac{(\alpha-\beta)^2}{2},\ \ \ \left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^2-4\dfrac{\alpha}{\beta}+1>0;$

корни: $\frac{\alpha}{\beta}=2\pm\sqrt3$. Т.е. локальный минимум будут существовать при $n>2+\sqrt3$ или при $n<2-\sqrt3$.

[motovanya]

Спасибо, Я сначало думал что, функция $R(\alpha)$ непрерывной, так всегда имеет минимум в отрезок $[0;90]$. Я себя спросил какой вопрос задачи?
Почему производная только в окрестности нуля отрицательной, а в другом отрезке?