Общий интеграл или явная функция

[Limit79]

Есть диффур:

$\sqrt{1-y^2} dx + y \sqrt{1-x^2} dy = 0$


Нехитрыми преобразования он приводится к виду:

$\frac{y dy}{\sqrt{1-y^2}} = - \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

Берем от обоих частей интегралы, и получаем:

$\frac{\sqrt{1-y^2}}{\frac{1}{2}} = 2\arcsin(x) + C$

Делим обе части на $2$ и получаем:

$\sqrt{1-y^2}} = \arcsin(x) + C$

При делении обоих частей на $2$, константу $C$ я не делил, правильно ли?
По идее да, она же константа - любое число.

Вопрос следующий, в подобных примерах принято оставлять ответ таким, в виде общего интеграла дифф. уравнения, или же выражать $y$ ?

$y$ я вот так вот выразил:

$y=\pm \sqrt{1-(\arcsin(x)+C)^2}$

При всех действиях, если делил, или умножал, то константу $C$ не трогал, правильно ли, или ее таки тоже надо умножать/делить?

[saygogoplz]

Все правильно делаете c константой, явную зависимость можно и не находить, я бы сказал что нужно если в условии задачи не оговорено обратное...

[Limit79]

saygogoplz
То есть здесь таки нужно явно выразить $y$?

А не могли бы подсказать, правильно ли я выразил? В частности, смущает то, что $C$ в конечном выражении не может быть любым, ибо в некоторых случаях подкоренное выражение получится отрицательным.

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #635049 писал(а):

$\sqrt{1-y^2}} = \arcsin(x) + C$

Вот здесь получили общий интеграл дифференциального уравнения и здесь сразу можно сказать, что поскольку левая часть неотрицательна, то и правая часть тоже неотрицательна. Таким образом, можно сказать, что хотя C - произвольная константа, но не любая.

[Limit79]

Shtorm
Вообще не видел ни разу, чтобы так писали. В "типовых" примерах надо это писать, или просто выразить искомую функцию?

[Shtorm]

Limit79, можно оставить в виде общего интеграла, а можно выразить в явном виде (если выражается). В данном случае, хотя выражается в явном виде, я бы оставил в неявном. Касательно того, что если левая часть положительна, то и правая - я как раз взял из примера из учебника. А отсюда следует напрямую то, что я написал про константу.

[Limit79]

Shtorm
Спасибо.

[Shtorm]

Limit79, вообще на будущее можно так говорить и писать: Произвольная константа $C$ может принимать лишь допустимые значения.