Несколько задач по теории чисел и групп.

[maverick20]

Добрый день, хотелось бы попросить помощи в решении нескольких задач:

1) Для каких n, $n^6-1$ делится на 14.

Можно здесь как-то применить малую теорему Ферма? Также думаю, можно воспользоваться тем, что 14=7 * 2.

2) $\mathbb Z_{n}$$ - множество остатков от деления на n. При каких n это множество будет группой а) по сложению б) по умножению.

3) Сколько элементов в группе $\mathbb Z^*_{18}$$. Будет ли она циклической?

$\mathbb Z^*_{n}$$=$\mathbb Z_{n}$$\{0}.

4) Сколько корней имеет многочлен $x^2-6x+7$ в $\mathbb Z_{17}$$

Не понимаю, что нужно сделать в этом задании. Модульная арифметика?

5) Рассмотрим группу ($\mathbb Q$\{0},*). Перечислить все ее конечные подгруппы и доказать, что других не существует.

6) Рассмотрим группу ($\mathbb R$,+). Перечислить все ее конечные подгруппы и доказать, что других не существует.

7) Построить таблицу умножения не циклической группы из 8 элементов. Бужет ли она коммутативной?

Вот, например, так:

$$$ \begin{pmatrix} * & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ 1 & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ 2 & 2 &4 &6 &8 &2 &4 &6&8\\ 3 & 3 &6 &1 &4 &7 &2 &5&8\\ 4 & 4 &8 &4 &8 &4 &8 &4&8\\ 5 & 5 &2 &7 &4 &1 &6 &3&8\\ 6 & 6 &4 &2 &8 &6 &4 &2&8\\ 7 & 7 &6 &5 &4 &3 &2 &1&0\\ 8 & 8 &8 &8 &8 &8 &8 &8&8\\ \end{pmatrix}$

Только есть подозрение что она циклическая группа. И коммутативная.

8) Найти остаток от деления $2011^2012$ на 3, 5, 7, 15.

[Sonic86]

maverick20 в сообщении #634158 писал(а):

1) Для каких n, $n^6-1$ делится на 14.

Можно здесь как-то применить малую теорему Ферма? Также думаю, можно воспользоваться тем, что 14=7 * 2.

Да, можно так. Продолжайте рассуждения.
Умножение в ТеХе пишется \cdot: $14=7\cdot 2$

maverick20 в сообщении #634158 писал(а):

2) $\mathbb Z_{n}[math]$$ - множество остатков от деления на n. При каких n это множество будет группой а) по сложению б) по умножению.

Ваши мысли?

maverick20 в сообщении #634158 писал(а):

3) Сколько элементов в группе $\mathbb Z^*_{18}$. Будет ли она циклической?

$\mathbb Z^*_{n}[math]$$=$\mathbb Z_{n}$$\{0}.

Последнее соотношение неверно, поскольку в $\mathbb{Z}^{\times}_{n}$ есть еще и необратимые ненулевые элементы.

maverick20 в сообщении #634158 писал(а):

4) Сколько корней имеет многочлен $x^2-6x+7$ в $\mathbb Z_{17}$$

Не понимаю, что нужно сделать в этом задании. Модульная арифметика?

Ну понятно что модулярная Вы же умеете решать квадратные уравнения не только в $\mathbb{R}$, а в любом кольце. Попробуйте как обычно, для начала, например.

-- Пн окт 22, 2012 13:15:58 --

maverick20 в сообщении #634158 писал(а):

5) Рассмотрим группу ($\mathbb Q$\{0},*). Перечислить все ее конечные подгруппы и доказать, что других не существует.

Ваши мысли? Каковы порядки элементов конечной группы?

maverick20 в сообщении #634158 писал(а):

6) Рассмотрим группу ($\mathbb R$,+). Перечислить все ее конечные подгруппы и доказать, что других не существует.

Аналогично.

maverick20 в сообщении #634158 писал(а):

7) Построить таблицу умножения не циклической группы из 8 элементов. Бужет ли она коммутативной?

Вот, например, так:

Всяко не группа. Какой обратный элемент у $8$?