Актуарная задачка

[vlad_light]

Страховая компания обеспечивает защиту зала от сбоев электроснабжения. Известно, что:
1) количество сбоев на протяжении года имеет распределение Пуассона с параметром 1;
2) величина потерь в следствии таких сбоев имеет распределение: $P(\zeta = 10)=P(\zeta = 20)=0,3, P(\zeta = 50)=0,4$;
3) страховщик выплачивает сумму, только в том случае, если она превышает 30.
Посчитать ожидаемые выплаты за год.

(Оффтоп)

Пусть $N$ - кол-во сбоев за год, тогда $P(N=k)=\frac{1}{e\cdot k!}$. Тогда выплаты за год (без франшизы) будут составлять $\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i$. Тогда выплаты с франшизой составят:

$$\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i\cdot P(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i > 30)+0\cdot P(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i \leq 30)$$

Средние выплаты считаю по формуле: $P(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i > 30)E(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i)$

$$E(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i)=E\sum\limits _{n=0}^\infty \sum\limits _{i=1}^n \zeta _i P(N=n)=\frac 1e \sum\limits _{n=0}^\infty \frac {1}{n!}\sum\limits _{i=1}^n E\zeta _i =\frac{29}{e}\sum\limits _{n=0}^\infty\frac{n}{n!}=\frac{29}{e}\sum\limits _{n=1}^\infty\frac{n}{n!}=\frac{29}{e}\sum\limits _{n-1=0}^\infty\frac{1}{(n-1)!}=29$$

$$P(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i \leq 30)=\sum\limits _{n=0}^\infty P(\sum\limits _{i=1}^n \zeta _i \leq 30)P(N=n)=\frac{1}{e}\sum\limits _{n=0}^\infty \frac{1}{n!}P(\sum\limits _{i=1}^n \zeta _i \leq 30)=$$

$$=\frac 1e(\frac{1}{0!}\cdot 1+\frac{1}{1!}\cdot 0,6+\frac{1}{2!}\cdot 0,27+\frac{1}{3!}\cdot 0,27)\approx 0,6548254$$

$$\text {Средние выплаты за год}=P(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i > 30)E(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i)=(1-0,6548254)\cdot 29\approx 10,01$$

Проверьте, пожалуйста. Спасибо!

И следующая:
Страховая компания продаёт договора, для которых:
1) вероятность наступления страхового события равна $0,5$;
2) тяжесть страхового события задаётся формулой $10^3e^{-0,05T}, T\sim U(0,20)$;
3) портфель состоит из $N$ независимых договоров;
4) премия по договору составляет 350;
5) общая премия равна ожидаемым суммарным выплатам по всему портфелю плюс 125% стандартного отклонения суммарных выплат.
Найти $N$.

(Оффтоп)

Из п. 2 находим ф-цию распределения тяжести ($\zeta$), из п. 4 имеем премию ($E\xi $) из п. 5 составляем уравнение:

$$NE\xi = E\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i+1,25\sqrt{D(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i) }$$

а из п. 3 преобразовываем его в

$$NE\xi = NE\zeta + 1,25\sqrt N\sigma _\zeta\Rightarrow \sqrt N((E\zeta - E\xi )\sqrt N+1,25\sigma _\zeta )=0\Rightarrow N=\frac{1,5625D\zeta }{(E\zeta - E\xi )^2}$$

А зачем нам вероятность дали?

--mS--, вся надежда на Вас

[Утундрий]

vlad_light
Просто замените хорошие отношения с некоей абстрактной страховой компанией на хорошие отношения с конкретной совокупностью электриков, и будет Вам счастье.

[vlad_light]

(Оффтоп)

А с чего Вы взяли, что я хозин зала? Я являюсь актуарием в страховой компании и меня попросили составить прогноз на год по данному объекту.

[--mS--]

vlad_light в сообщении #632866 писал(а):

Тогда выплаты с франшизой составят:

$$\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i\cdot P(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i > 30)+0\cdot P(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i \leq 30)$$

Вот тут можно выбрасывать. Выплаты есть

$$\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i\cdot I(\sum\limits _{i=1}^N \zeta _i > 30),$$

где $I(A)=1$, если $A$ случилось, и нулю иначе. Матожидание произведения этих зависимых величин не равно произведению их матожиданий. Советую считать так:

$$\mathsf E \xi\cdot I(\xi > 30) = \mathsf E \xi - \mathsf E \xi\cdot I(\xi \leqslant 30) = 29 - \sum_{k=0}^{30} k\cdot \mathsf P(\xi = k). $$

Вероятности иметь сумму выплат $\xi=10,\,20,\,30$ считаются.

Кстати, Вы напрасно вычисляли так долго $\mathsf E\sum_{i=1}^N \zeta_i$. См. тождество Вальда. Это есть произведение матожиданий $\mathsf EN \cdot \mathsf E\zeta$.

Вторая задача слишком муторно формулируется, мне эти термины малопонятны. Вероятность должна, однако, куда-то включаться - страховой случай может и не произойти (в среднем по половине договоров!).

[vlad_light]

Спасибо, про индикатор я не подумал, а он действительно здесь естественен. Про тождество Вальда я не слышал, спасибо, посмотрю. Попробую вторую спросить у преподавателя и напишу здесь решение.