Площадь части цилиндра...

saygogoplz · 18.10.2012, 22:50

Я настолько устал, что делаю такие постыдные ошибки. Простите.

-- 19.10.2012, 00:16 --

Вообщем поднатужился я чуток, сделал параметризацию кривой, и ответ получился тоже 8, меня это пугает конечно, надо бы теперь численно посчитать

Nacuott · 19.10.2012, 00:42

Восемь, восемь. Это четыре интеграла от синус х от 0 до пи.
Если цилиндр развернуть, то эллипс превратится в синусоиду.
Однополостный гиперболоид, который задан, пересекает цилиндр также как и вертикальный цилиндр радиуса 1.

Shtorm · 19.10.2012, 17:37

saygogoplz в сообщении #632534 писал(а):

$\sigma=\iint\limits_{x^2+y^2\leq1}{\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,dxdy}=\int\limits_0^{2\pi}{\frac{1-\cos\varphi}{\sin^2\varphi}\,d\varphi}$

....Поглубже посмотрите проблему, что-то с пониманием у меня не так....

Я ни разу не сталкивался, но возможно где-то в книгах сформулировано свойство или теорема о том, что если при переходе из декартовых координат в полярные при интегрировании, определённый интеграл становится несобственным - то нельзя переходить к полярным координатам.
Если я не прав - то пусть меня поправят.

Shtorm · 20.10.2012, 18:18

Значит так: исходный двойной интеграл в декартовых координатах тоже является несобственным. Поэтому, когда мы в нём переходим к полярным координатам, то тоже получаем несобственный интеграл в полярных координатах. Но подынтегральная функция в полярных координатах написана неверно. Вместо $\frac{1-\cos\varphi}{\sin^2\varphi}$ нужно $\frac{1-|\cos\varphi|}{\sin^2\varphi}$
То есть пропустили модуль косинуса. И полученный несобственный интеграл в полярных координатах будет равен тому же, что и несобственный интеграл в декартовых координатах:

$\sigma=\iint\limits_{x^2+y^2\leq1}{\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,dxdy}=\int\limits_0^{2\pi}{\frac{1-|\cos\varphi|}{\sin^2\varphi}\,d\varphi}=4$