Лагранжаниан.

[_20_]

Здравствуйте, помогите разобраться, почему лагранжаниан выглядет именно так: $L=F(x, f(x), f '(x))$ ? Нельзя было бы обойтись без $x$ или без $f '(x)$ ?

[_20_]

Сам ответил на часть своего вопроса, т.к. смысл лагранжаниана - сводиться к уравнению наименьшего пути от одной точки к другой, то он должен выглядеть примерно так: $y=kx+tf(x)$. $y = kx$ - наикратчайшее расстояние, прямая. $t(x)\cdot f(x)$ - если можно так выразиться, расширяющее слагаемое, в случае лагранжаниана состоит из двух членов - $t(x)\cdot f(x) + h(x)\cdot f '(x)$, где $t(x)$ и $h(x)$ вначале и конце пути = 0. Следовательно, можно было бы обойтись и без $f '(x)$ или ввести дополнительные функции. Вопрос остаётся открытый, почему именно так?

[Munin]

Набор параметров лагранжиана тесно связан с тем, какого вида уравнения Эйлера он порождает. В классической механике это уравнения второго порядка с зависимостью от координат, и возможно, от времени - уравнения Ньютона (второй закон Ньютона). Отсюда и набор параметров лагранжиана: функции и их первые производные (вторые появляются уже после варьирования). От независимой переменной (у вас $x,$ в механике $t$) зависимость наличествует не обязательно. Если система сохраняет энергию, например, точка движется в постоянном потенциале, то зависимости от времени нет. Если система зависит от времени, например, точка движется по переменному потенциалу, или потенциал растёт со временем, то не сохраняется энергия.

Прошу пользоваться встроенными в форум средствами набора формул - за их неиспользование здесь могут наказать. Для этого см. ссылки слева. Для начала, можно окружить формулу целиком знаками доллара, и убрать звёздочки.

[ИСН]

_20_, то, что Вы называете лагранжианом, относится к лагранжиану примерно так же, как автобус 4 маршрута - к автомобилям. Почему у автобуса 4 маршрута четыре колеса? Потому что номер такой? Нет, не потому.

[Munin]

Ну да, разумеется, здесь речь только о лагранжиане классической механики.

[_20_]

Тогда самый простой случай, $y=f(x)$
Ищем вариации: $g=f(x)+ah(x)$
$k(x,a)=ah(x)$
$g=f(x)+k(x,a)$
$S= \int g(f(x),k(a,x))dx$
$dS/da = \int(d(g(f(x),k(x,a)))/da)dx$
$dS/da = \int((d(g(f(x),k(x,a)))/dk)(dk/da))dx$
$d(g(f(x),k(x,a)))/dk = 0$

Это означает, что $g(f(x),k(x,a))$ с изменением $k(x,a)$ не изменяется, в чём ошибка?

[Munin]

Пишите знак интеграла нормально, \int. Заодно и греческую букву \delta можете использовать.

[_20_]

Исправил.

[Munin]

_20_ в сообщении #632402 писал(а):

в чём ошибка?

Ну так вы же, наверное, $\delta S$ приравняли к нулю? Иначе неясно, как у вас последняя строчка получается.

[_20_]

Дальше так:
$(d(f(x)+ah(x)))/d(ah(x))=0$

Потом решается уравнение, находится $ah(x)$, правильно?
Получилось ли у меня уравнение Лагранжа?