Разложение в ряд

[b322730]

В какой ряд лучше разложить $f\left(x\right)=-x \log_2\left(x\right)$ для вычисления при $x\in\left[0,1\right]$, считая $\log_2\left(0\right)=0$.

[ewert]

С какой целью разложить и в каком смысле, т.е. в каком виде требуются результат?

[b322730]

Разложить --- с целью получить возможность расчета с использованием исключительно алгебраических операций.
Результат --- в любом виде.

[ewert]

Никакого разумного ряда, позволяющего вычислять с любой заданной точностью, не существует. Если же необходимая точность фиксирована (скажем, не менее двенадцати знаков), то можно попробовать заменить на интерполяционный многочлен по чебышёвским узлам, дополнительно сгущённым к нулю (закон и параметры сгущения надо будет подбирать эмпирически).

[coll3ctor]

Может, в ряд Тейлора ?

[мат-ламер]

coll3ctor в сообщении #631685 писал(а):

Может, в ряд Тейлора ?

Если ограничиться окрестностью единицы.

[ewert]

ewert в сообщении #631660 писал(а):

заменить на интерполяционный многочлен по чебышёвским узлам, дополнительно сгущённым к нулю

Нет, там тоже ничего особо хорошего не выйдет. Максимум что можно отловить -- три значащих цифры, уж больно логарифм в нуле злодействует. Наверное, единственно разумный способ -- это шаблонный: аппроксимировать сам логарифм от одной второй до единицы, а для последовательно уменьшающихся вдвое примыкающих отрезков пересчитывать просто двоичными сдвигами, влезая в стандартное двоичное представление вещественного числа полем порядка и полем мантиссы (благо это представление простое).

[b322730]

Подскажите, пожалуйста, хорошие книги о тех методах, которые были рекомендованы для решения задачи.

[Andrew Gubarev]

Умножение $\log_2(x)$ на $x$ не создает проблем, поэтому достаточно уметь вычислять $\log_2 (x)$ с заданной точностью. Алгоритм вычисления $\ln(x)$ с оценкой его погрешности метода (т.е. без учета погрешностей округления) приведен в дополнении к главе 8 книги
Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982.

[Как и писал выше ewert, в этом алгоритме аргумент представляется в виде $x=2^p M$, где $p$ — целое, а $M$ удовлетворяет условиям $1/2 \le M < 1$. Тогда $\ln x = p \ln 2 + \ln M$. $\ln M$ ищется разложением в ряд Маклорена по формуле Маклорена.]