Пакет тензорной алгебры в Maple 7

[lek]

Столкнулся с такой проблемой. При вычислении тензора и скаляра Риччи (с помощью пакета tensor в Maple 7) знак оказывается не тот, что получается при ручном вычислении. При этом символы Кристоффеля и компоненты тензора Римана получаются теми же, что и при ручном счете. Не пойму, программная фича или моя?

Вот простейший пример, иллюстрирующий проблему:

>restart;with(tensor):coords:=[theta,phi]:
> g:=array(symmetric,sparse,1..2,1..2):
> g[1,1]:=r^2;
> g[2,2]:=r^2*sin(theta)^2;
> metric:=create([-1,-1],eval(g)):
> type(metric,tensor_type);
> tensorsGR(coords,metric,con_metric,det_met,C1,C2,Rm,Rc,R,G,C):
> displayGR(Riemann,Rm):
> displayGR(Ricci,Rc):
> displayGR(Ricciscalar,R):

В результате на экране видим следующие ненулевые компоненты:

$$ \begin{align} g_{11}&=r^2,\\ g_{22}&=r^2\sin^2\theta,\\ R_{1212}&=r^2\sin^2\theta,\\ R_{11}&=-1,\\ R_{22}&=-\sin^2\theta,\\ R&=-\frac{2}{r^2} \end{align} $$

Что не может быть верным, поскольку сфера $\math{S}^2$ является пространством постоянной положительной кривизны. С другой стороны, прямое вычисление тензора Риччи по формуле $ R_{jl}=g^{ik}R_{ijkl} $ дает нужный знак.

[Munin]

Меня приписка GR настораживает, возможно, там где-то нарочно меняют знак для принятых в GR соглашений о знаках. Странно, что в документации этого не написано, ведь в знаках в GR есть некоторый разнобой. Для дифгеометрии с математическими соглашениями, наверное, предназначен пакет DifferentialGeometry/Tensor. Кроме того, есть некий GRTensorII.

[lek]

tensor[tensorsGR] - compute General Relativity curvature tensors in a coordinate basis. В сущности именно это и нужно. Посчитал символы Кристоффеля (C1 и C2), тензоры Римана (Rm), Риччи (Rc) и скаляр Риччи (R) для закрытой и открытой изотропной модели в Maple и вручную (следуя ЛЛ). Сначала выбрал сигнатуру (+---). Значения C1, C2 и Rm совпали, а Rc и R получились с разными знаками. Затем изменил сигнатуру на (-+++). В обоих случаях величины C1, Rm, R изменили знак, а C2 и Rc сохранили. Все как и должно быть. Таким образом, единственное отличие - Maple вычисляет тензор Риччи по формуле $R_{jl}=-g^{ik}R_{ijkl}$. Странно...

[Munin]

Сделайте решительную проверку: вызовите вручную tensor[Ricci], скормив туда какой-нибудь явно заданный тензор Римана, чтобы расшифровать результат. Хм, и заодно, может быть, неприятность кроется в обратном метрическом тензоре, tensor[invert] тоже проверьте. В документации на tensor[tensorsGR] сказано, что он просто вызывает эти функции.

-- 16.10.2012 14:13:22 --

lek в сообщении #631515 писал(а):

...и вручную (следуя ЛЛ)

На последнем форзаце 1 тома МТУ (сохранённом в электронном варианте) есть табличка соглашений о знаках в GR у разных авторов. ЛЛ-2 там по каким-то параметрам был в меньшинстве. Правда, там сказано, что в формуле $+R_{\mu\nu}=R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu}$ всегда плюс...

А, знаю! Где-то, бывает, сворачивают не первый индекс с третьим, а второй с четвёртым! Тогда там ещё один минус всплывает.

[lek]

Munin в сообщении #631565 писал(а):

Сделайте решительную проверку: вызовите вручную tensor[Ricci], скормив туда какой-нибудь явно заданный тензор Римана, чтобы расшифровать результат.

Результат тот же.

Munin в сообщении #631565 писал(а):

Хм, и заодно, может быть, неприятность кроется в обратном метрическом тензоре, tensor[invert] тоже проверьте.

Проверил, все OK!

Munin в сообщении #631565 писал(а):

А, знаю! Где-то, бывает, сворачивают не первый индекс с третьим, а второй с четвёртым! Тогда там ещё один минус всплывает.

Нет. Там всплывают сразу два минуса:

$$ R^{\alpha}{}_{\mu\alpha\nu}=g^{\alpha\beta}R_{\beta\mu\alpha\nu}=g^{\alpha\beta}R_{\mu\beta\nu\alpha}=R_{\mu\beta\nu}{}^{\beta} $$

Munin в сообщении #631565 писал(а):

На последнем форзаце 1 тома МТУ (сохранённом в электронном варианте) есть табличка соглашений о знаках в GR у разных авторов. ЛЛ-2 там по каким-то параметрам был в меньшинстве. Правда, там сказано, что в формуле всегда плюс...

Я так понял, что на левой (нечетной) странице форзаца равенство $R_{\mu\nu}=-R^{\alpha}{}_{\mu\alpha\nu}$ не исключено (такое определение использует, например, Бергман). По-видимому, нестандартное определение тензора Риччи - единственное правдоподобное объяснение этой фичи (если исключить тривиальный программный сбой)...