Приближённая формула для НОК

[analitik777]

Всем привет! Вот для факториала есть приближённая формула Стирлинга, которая представляет факториал в виде элементарных функций. А есть ли формула для наименьшего общего кратного первых n натуральных чисел, чтобы НОК представить в виде элементарных функций?

[Sonic86]

Блин, где-то была тема. Надо найти...

-- Пн окт 15, 2012 15:26:37 --

А вообще что тут думать?

$$\text{НОК}(1,2,...,n)=\prod\limits_{p\leqslant n}p^{\left[\log_p n\right]}$$

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #631322 писал(а):

А вообще что тут думать?

Действительно, имеем $\text{НОК}{(1,2,\dots,n)} \sim e^n$ при $n \to \infty$.

[maxal]

см. http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevFunctions.html

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #631325 писал(а):

Действительно, имеем $\text{НОК}{(1,2,\dots,n)} \sim e^n$ при $n \to \infty$.

Неправда, наверное. (иначе было бы $\psi(x)=x+o(1)$, а это очень сильно) У нас же $a_n\sim b_n\not\Rightarrow e^{a_n}\sim e^{b_n}$. Или как Вы это получили? Или у Вас наверное $\sim$ означает "приближенно"?

[nnosipov]

Да, это я погорячился. Конечно, я хотел написать $\text{НОК}{(1,2,\dots,n)}=e^{n+o(n)}$ при $n \to \infty$. Пардон.

[venco]

nnosipov в сообщении #631408 писал(а):

Да, это я погорячился. Конечно, я хотел написать $\text{НОК}{(1,2,\dots,n)} \sim e^{n+o(n)}$ при $n \to \infty$. Пардон.

А так $\sim$ не нужно.

[nnosipov]

venco в сообщении #631410 писал(а):

А так $\sim$ не нужно.

Поправил.

[analitik777]

Спасибо :)