Функция Лапласа

[AlexeyM]

Помогите, пожалуйста, разобраться в вопросе, что же считать "истинной" функцией Лапласа. В "Руководстве по решению задач" Гмурмана говорится так:



В других источниках, например, Вентцель "Теория вероятностей" сказано так:



У Бородина в "Элементарном курсе теории вероятностей" есть такое:



Получается какая-то неопределенность... Пытался свести второй случай к первому заменой $t=\frac{z}{\sqrt{2}}$, но тогда изменяются пределы интегрирования, что совсем не то, что нужно. Может быть, есть точное толкование для этой функции? Потому что формулы в интегральной теореме Муавра-Лапласа тоже меняются от таких разночтений...

[gris]

Дело не в названии, а в применении соответствующих таблиц или готовых функций из программных пакетов. Ведь бывают ещё таблицы для нормального распределения $\Phi_{0,1}$, где первый интеграл считается не от нуля, а от минус бесконечности. В нуле функция равна 0.5, на бесконечности 1.

Первый интеграл соответствует этой функции, сдвинутой для удобства на 0.5 вниз. Она становится нечётной и объём таблиц сокращается вдвое. Часто называется "нормированной функцией Лапласа". В нуле она равна 0, на бесконечности 0.5.

Третий интеграл соответствует этой же функции, умноженной на 2. В нуле она равна 0, на бесконечности 1.

Второй интеграл соответствует стандартной функции ошибок $\mathrm {erf} \,x$. Она тоже в нуле она равна 0, на бесконечности 1.

В различных учебниках и справочниках можно встретить все виды таблиц и надо быть внимательнее при вычислении необходимой вероятности.

[AlexeyM]

gris, спасибо за ответ. Получается, перед тем, как делать какие-то преобразования с функцией Ф(х) нужно выяснить, что именно автор задачи имеет в виду. Жаль, что существуют подобные разночтения...