Интегральное тождество в контексте разностных схем

[kostyakostya]

Как вывести интегральное тождество для заданной краевой задачи?

Конкретнее:
$-a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -b^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + e(x,y)u = f(x,y)$, $a > 0, b > 0, e(x,y) > 0$ определенная на области $(0,X)\times (0,Y)$.
с граничными условиями:
$u(0,y)=g_0(y)$
$u(X,y)=g_1(y)$
$-b^2 \frac{\partial u}{\partial y}(x, 0)+\alpha_2u(x, 0)=q_2(x)$
$b^2 \frac{\partial u}{\partial y}(x, Y) = q_3(x)$

Хотелось бы понять как это делать в общем случае.

[TOTAL]

Что такое интегральное тождество и при чем здесь разностные схемы?

[kostyakostya]

Цитата:

Что такое интегральное тождество и при чем здесь разностные схемы?

Есть краевая задача, которую надо решить с помощью разностной схемы, но сперва надо составить интегральное тождество (вполне вероятно что оно не имеет отношения к разностной схеме), которое затем нужно переделать в сумматорное тождество.

Преподаватель в качестве примера давал следующее интегральное тождество:
$\int\limits_\Omega(\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial y})dxdy + \int\limits_0^Y dy(X,y)\varphi (X,y)dxdy=\int\limits_\Omega f\varphi dxdy + \int\limits_0^Y q_1(y)\varphi(X,y)dy$

Для задачи Пуассона, где на правой границе области условие Дирихле с $q_1(y)$.
На сколько я понял интегральное тождество каким-то образом выводилось из энергетического равенства
$\int\limits_\Omega(-\Delta u) \varphi dxdy = \int\limits_\Omega f\varphi dxdy$, но я не понял что такое функция фи.

[ewert]

kostyakostya в сообщении #630917 писал(а):

но я не понял что такое функция фи.

Это -- "пробная" функция. Уравнение Пуассона эквивалентно (с соотв. оговорками) выполнению этого равенства для любых пробных функций из соотв. класса. От вас, скорее всего, требовалось просто перевести это тождество на сетку. Зачем -- понятия не имею; по-моему, это занятие вполне бессмысленное. Вот перенести на сетку интегральный функционал, подлежащий минимизации -- уже вполне содержательно, это некоторый естественный способ формулирования разумных разностных схем.

[kostyakostya]

Как перенести на сетку интегрально тождество я понимаю, но я не понимаю как его сформулировать хотя бы для данной задачи.

[TOTAL]

Почему называете это уравнение тождеством?

[kostyakostya]

Цитата:

Почему называете это уравнение тождеством?

Так лектор называл.