Интегралы Эйлера

[zorkh]

Помогите разобраться с двумя интегралами.

Первый $\displaystyle\int_0^{+\infty}(e^{-a^2/x^2}-e^{-b^2/x^2})dx$
Понятно, что его скорее всего надо каким-то образом преобразовать к интегралу Эйлера-Пуассона $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$
Немного преобразовав изначальное выражение:
$ \displaystyle\int_0^{+\infty}(e^{-a^2/x^2}-e^{-b^2/x^2})dx

$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-b^2/x^2}(e^{a^2/b^2}-1)dx$

$e^{a^2/b^2}(\int_0^{+\infty}e^{-b^2/x^2}dx-\int_0^{+\infty}e^{-b^2/x^2}dx)$
Получилось, что нужно взять только интеграл вида:
$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-b^2/x^2}dx$
Первое, что пришло на ум - это замена $t=b/x, dt=blnxdx$, но что делать с логарифмом? Какую замену взять вместо моей, чтобы получить более простой интеграл?

Второй, в условии написано решить с помощью интегралов Эйлера.
$ \displaystyle\int_0^{\pi/2}(\sin x)^4(\cos x ^8)$
Тут еще менее понятно, в гамма и бета функциях нет ни синуса, ни косинуса, как через них выражать тогда этот интеграл? Выразить его через тангенс половинного угла и взять этот тангенс за новую переменную?

[alcoholist]

zorkh в сообщении #630810 писал(а):

$ \displaystyle\int_0^{+\infty}(e^{-a^2/x^2}-e^{-b^2/x^2})dx\ne\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-b^2/x^2}(e^{a^2/b^2}-1)dx$

-- Вс окт 14, 2012 16:38:31 --

zorkh в сообщении #630810 писал(а):

$t=b/x, dt\ne b\ln x dx$

[Shtorm]

zorkh в сообщении #630810 писал(а):

$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-b^2/x^2}(e^{a^2/b^2}-1)dx$

При умножении степени складываются, а не умножаются.

-- Вс окт 14, 2012 18:57:29 --

zorkh в сообщении #630810 писал(а):

$t=b/x, dt=blnxdx$,

При нахождении дифференциала берём производную, а не интеграл.