Немного модифицированная задача Пёшля-Теллера

[Bulinator]

Есть одномерный Гамильтониан:

$$ \hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2}+\left(\frac{\alpha^2}{\cos^2{\theta}}+\frac{\beta^2}{\sin^2{\theta}}\right) $$

Чтобы решить УШ для этого Гамильтониана $\hat{H}\psi=E\psi$, сначала подстановкой $\psi(\theta)=\sin^a{\theta}\cos^b{\theta}f(\theta)$ убиваем 2 потенцильных члена, а потом делая замену переменной $x=\cos^2{\theta}$ приводим уравнение к ур-ю для гипергеометрической функции.

Решая немного другую задачу, я пришел к уравнению вида

$$ \hat{H}\psi=E\psi,\quad \text{где}\quad \hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2}+\left(\frac{\alpha^2}{\cos^2{\theta}}+\frac{\beta^2}{\sin^2{\theta}}+\frac{\gamma}{\cos{\theta}}\right) $$

Не подскажите, что делать с этим косинусом?

[Bulinator]

Итак, делаем замену переменной $x=\cos{\theta}$ и ищем $f$ в виде $f=(1-x^2)^ax^bh(x)$. После соответствующего выбора $a$ и $b$, УШ переходит в уравнение Гойна:

$$ h''+h'\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{1-x}+\frac{C}{1+x}\right)+\frac{D x+q}{x(1-x)(1+x)}h=0 $$