Пьяница на мосту

[MrDindows]

Shadow в сообщении #629889 писал(а):

Да, так лучше. Похожая задача (но полегче):
Пьяный находится на шаг от бутылки. Делает шаг вперьед с вероятностью $p$ и шаг назад с вер. $1-p$.
а) Какова вероятность что доберется до бутылки?
б) За сколько шагов в среднем доберется до бутылки? (если доберется, конечно)

$p<\frac12$
$P = p\cdot\sum\limits^{\infty}_{i=0}C_{i}\cdot(p\cdot(1-p))^i = p\cdot\frac{1-\sqrt{1-4p(1-p)}}{2p(1-p)}= \cdot\frac{1-(1-2p)}{2(1-p)}=\frac{p}{1-p}$
$p\ge\frac12$
$P = p\cdot\frac{1-\sqrt{1-4p(1-p)}}{2p(1-p)}= \cdot\frac{1-(2p-1)}{2(1-p)}=\frac{2-2p}{2-2p} =1$
$C_i$ - i-тое число Каталана.
Во втором переходе использовалась производящая функция для чисел Каталана.
Каждое слагаемое - вероятность дойти до бутылки после $2i+1$ шагов.

Shadow в сообщении #630011 писал(а):

statistonline,
$P=p+(1-p)\cdot P \cdot P$
(Чтобы оказатся на шаг вперьед своей позиции нужно или сделать шаг вперьед, или шаг назад и два раза оказаться на шаг вперьед своей позиции)

Да, это конечно красивее=)